11.3 二项式定理,知识梳理,1.二项式定理：,2.二项展开式的通项：,k0，1，2，n.,3.二项式系数的性质：,（1）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.,（2）二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值.当n为偶数时，正中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，正中间两项的二项式系数相等且为最大.,（3）所有二项式系数之和等于2n， 所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且都等于 2n1，即,4.杨辉三角：,1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1,（1）每行两端的数都是1； （2）每行与两端“等距离”的两数相等； （3）在相邻的两行中，除1以外的每一个数 都等于它“肩上”两个数的和，等等.,拓展延伸,1.二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，其中n是正整数，a，b可以任意取值，也可以是代数式.,2.二项展开式在结构上有如下一些基本特征： （1）共有n1项； （2）字母a的最高次数为n且按降幂排列，字母b的最高次数为n且按升幂排列；,（3）各项中a与b的指数幂之和都是n； （4）各项的二项式系数依次为：,3.二项展开式中各项的系数与二项式系数是两个不同概念，各项的系数与a，b的取值有关，各项的二项式系数与a，b的取值无关，二项式系数的性质不能类推到二项展开式的系数.,4.(ab)n的二项展开式的通项是.,5.在(abx)n的展开式中，令x1，可求得各项的系数之和.令ab1，可得这是一种赋值的方法.,考点分析,考点1 利用通项公式解决二项展开式中的问题,例1 已知 展开式中前三项 的系数成等差数列，求展开式中的所有有理项.,例2 已知 展开式中的二项式系数之和比 展开式中的二项式系数之和大992，在 的展开式中，求： （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项.,例3 已知 的展开式中x3的 系数为 ，求a的值.,【解题要点】 用公式确定通项的系数与幂指数用方程思想求未知数的值用待定系数法求项数.,考点2 求展开式的系数和,例4 设求（1） ； （2） .,例5 设1xx2x3x9 求 的值.,【解题要点】 利用赋值思想求系数和与常数项通过比较求最高次项系数.,考点3 二项式定理的应用,例6 设nN，n2，求证：（1） ； （2） .,例7 求下列各数的近似值(精确到 0.001): （1）1.028； （2）0.9986.,例8 求下列各式的和：(1) (2),【解题要点】 利用二项式定理展开指数式适当放缩变形逆用二项式定理求组合数的和构造二项恒等式比较系数求组合数的和.,