3.3 三角恒等变换与解三角形,高考命题规律 1.高考的重要考题,常与数列解答题交替在17题位置呈现. 2.解答题,12分,中档难度. 3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.,-4-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,利用正弦定理和余弦定理解三角形 1.(2018全国17)在平面四边形ABCD中,ADC=90, A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB;,-5-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-6-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-7-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-8-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-9-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-10-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-11-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-12-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,5.(2016全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C;,-13-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解 (1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.,-14-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-15-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-16-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2018河南郑州第二次质量预测)ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是A,B,C的对边,且2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,c=3. (1)求A; (2)若AD是BC边上的中线,AD= ,求ABC的面积.,-17-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-18-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,3.(2018山东济南一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos A-acos B=2c. (1)证明:tan B=-3tan A;,(1)证明 根据正弦定理,由已知得sin Bcos A-cos Bsin A=2sin C=2sin(A+B),展开得sin Bcos A-cos Bsin A=2(sin Bcos A+cos Bsin A), 整理得sin Bcos A=-3cos Bsin A,所以tan B=-3tan A.,-19-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-20-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,4.(2018河北唐山二模)如图,在平面四边形ABCD中,AB= ,AC=2, ADC=CAB=90,设DAC=.(1)若=60,求BD的长度; (2)若ADB=30,求tan .,-21-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解 (1)由题意可知,AD=1.,-22-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,5.(2018新疆乌鲁木齐第二次质监)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=2B. (1)求证:a2=b(b+c); (2)若ABC的面积为 a2,求B的大小. (1)证明 由A=2B,可得sin A=sin 2B=2sin Bcos B,-23-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-24-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,6.(2018广东深圳第二次调研)在ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B为锐角,且acos B+bsin B=c. (1)求角C.,解 (1)由正弦定理可知sin Acos B+sin2B=sin C. sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, sin2B=cos Asin B.,-25-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-26-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解三角形中的最值与范围问题 (2013全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B; (2)若b=2,求ABC面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又A=-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由,和C(0,)得sin B=cos B,-27-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-28-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,1.(2018四川资阳4月模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B). (1)求A. (2)若a=4,求b2+c2的取值范围. 解 (1)根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,-29-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2018山东烟台一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A-sin C). (1)求B的值; (2)若b=3,求a+c的最大值. 解 (1)在ABC中,由正弦定理得,(b-c)(b+c)=a(a-c),即b2=a2+c2-ac,-30-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,3.(2018辽宁大连一模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且2bcos B=acos C+ccos A. (1)求B的大小; (2)求ABC面积的最大值. 解 (1)由2bcos B=acos C+ccos A, 可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin B, sin B0,-31-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-32-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,4.(2018贵州凯里模拟)已知在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c, m=(2cos C,acos B+bcos A),n=(c,-1),且mn. (1)求角C; (2)若c=3,求ABC周长的最大值. 解 (1)mn, 2ccos C-(acos B+bcos A)=0. 由正弦定理得2sin Ccos C-(sin Acos B+cos Asin B)=0. 即2sin Ccos C-sin(A+B)=0. 2sin Ccos C-sin C=0. 在ABC中,0C,sin C0.,-33-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)由余弦定理可得: c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab(1+cos C)=9. 即(a+b)2-3ab=9,(a+b)236.a+b6, 当且仅当a=b=3时取等号, ABC周长的最大值为6+3=9.,-34-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-35-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-36-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,6.(2018东北三省三校二模)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B). (1)求角C; (2)若ABC的外接圆半径为2,求ABC周长的最大值. 解 (1)由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b), a2-c2=ab-b2,-37-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-38-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,应用正弦定理和余弦定理解决实际问题 (2009全国17)为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.,-39-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解 方案一:需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角1,1;B点到M,N点的俯角2,2;A,B的距离d(如图所示).,-40-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-41-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,1.(2018江西新余模拟)如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60,AC=0.1 km.(1)试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间距离会相等? (2)求B,D间的距离.,-42-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解 (1)在ABC中,DAC=30, ADC=60-DAC=30,CD=AC=0.1. 又BCD=180-60-60=60, CB是CAD底边AD的中垂线,BD=BA.,-43-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-44-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解 (1)如题图,根据题意得:,所以客轮的航行速度v1=102=20(海里/时). 因为CD=DE,所以DEC=DCE=30, 所以AEC=180-30=150.,-45-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,在ACE中,由余弦定理得,AC2=AE2+CE2-2AECEcosAEC, 整理得AE2+30AE-400=0,解得AE=10或AE=-40 (不合题意,舍去负值).,-46-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,-47-,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,