2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,一,二,三,四,一、向量的数乘运算 问题思考 1.如图,已知向量a,请作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),并指出所得和向量与向量a的模、方向有什么关系.,思维辨析,一,二,三,四,思维辨析,2.填空:,一,二,三,四,思维辨析,一,二,三,四,思维辨析,二、数乘运算的运算律 问题思考 1.已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立. (1)3(2a)=6a; (2)(2+3)a=2a+3a; (3)2(a+b)=2a+2b. 提示各式均是成立的(如图).,(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.,一,二,三,四,思维辨析,2.填空:数乘向量的运算律 (1)(a)=()a; (2)(+)a=a+a; (3)(a+b)=a+b. 特别地,有(-)a=-(a)=(-a);(a-b)=a-b.,答案C,一,二,三,四,思维辨析,三、共线向量定理 问题思考 1.若a是非零向量,则a与a有什么关系?如果ba(a0),那么b=a是否成立? 提示a与a是共线向量;如果ba(a0),那么b=a一定成立. 2.填空:共线向量定理 向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使b=a. 3.关于共线向量定理的说明: (1)定理中,向量a为非零向量,即定理不包含0与0共线的情况. (2)条件a0是必须的.否则当a=0,b0时,虽然b与a共线,但不存在实数,使得b=a;当a=0,b=0时,可以是任意实数. (3)要证明向量a,b共线,只需证明存在实数,使得b=a即可. (4)若b=a(R),则a与b共线.,一,二,三,四,思维辨析,4.做一做:若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有 .(填序号) a=2e1,b=-2e1; a=e1-e2,b=-2e1+2e2; a=4e1- 2 5 e2,b=e1- 1 10 e2; a=e1+e2,b=2e1-2e2. 解析中,a=-b,所以a,b共线;中,b=-2a,所以a,b共线;中,a=4b,所以a,b共线;中,不存在R,使a=b,所以a,b不共线. 答案,一,二,三,四,思维辨析,四、向量的线性运算 问题思考 向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数,1,2,恒有(1a2b)=1a+2b.,一,二,三,四,思维辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)对于任意向量a和任意实数,a与a一定是共线向量. ( ) (2)向量a与a的方向不是相同就是相反. ( ) (3)若向量a和b共线,则必有b=a. ( ) (4)若向量a和b不共线,且a=b,则必有=0. ( ) (5)若向量 共线,则A,B,C,D四点共线. ( ) (6)实数既可以与向量相乘,也可以相加减. ( ) (7)向量a与b共线,当且仅当有唯一一个实数x,使b=xa. ( ) (8)若m=3a+4b,n= a+2b,则mn. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8),探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,向量的线性运算 【例1】 (1)化简下列各向量表达式:,分析(1)根据向量的线性运算法则求解;(2)运用实数的二元一次方程组的解法求解.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,解(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. 原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向量.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b (2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为a= ,b= .,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,共线向量定理及其应用 角度1 向量共线的判定 【例2】 判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).,解(1)b=-2a,a与b共线. (2)a= b,a与b共线. (3)设a=b,则e1+e2=(3e1-3e2), (1-3)e1+(1+3)e2=0. e1与e2是两非零不共线向量, 1-3=0,1+3=0. 这样的不存在,因此a与b不共线.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实数,使得b=a,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度2 用已知向量表示未知向量,答案C,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,用已知向量来表示另外一些所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理,相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度3 证明三点共线问题,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线,两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据. 2.若A,B,C三点共线,则向量 在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而向量共线定理是实现线性关系的依据.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度4 求参问题,答案A,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,答案C,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,向量线性运算的综合应用 角度1 判断三角形的形状,答案直角三角形,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度2 求解三角形的面积比,解析如图所示,取AB的中点D,连接OD.,则C,O,D三点共线且点A,B到OC的距离相等, OC边为公共边,AOC,BOC的面积相等.故选D. 答案D,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,答案C,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度3 解决三角形的四心问题,答案B,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,答案B,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,点评解决本题的关键是将给定的向量利用基向量表示出来,再利用基底确定,向量的分解式是唯一的,可列出参数之间的关系.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,对共线向量的条件理解不清致误 【典例】 已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线. 错解若存在实数,使3e1+2e2=(3e1-2e2), 则3e1+2e2=3e1-2e2,即(3-3)e1=(-2-2)e2,错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢? 提示错解中对向量共线的条件理解不清,只有当e1,e2不共线,且e1=e2时,才有=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此,上述解法是错误的.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,正解若向量e1和e2不共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2不共线. 若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(kR), 则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1, 3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k0, 于是3e1+2e2= (3e1-2e2),这时3e1+2e2与3e1-2e2共线.,要注意结论“若非零向量e1,e2不共线,且e1=e2,则必有=0”成立的条件是e1,e2不共线,因此在应用该结论解决相关问题时,务必注意这一条件.,1,2,3,4,5,1.设a是非零向量,是非零实数,则下列结论正确的是 ( ) A.a与a的方向相同 B.a与-a的方向相反 C.a与2a的方向相同 D.|a|=|a| 解析因为0,所以20,于是向量a与2a的方向相同. 答案C,6,1,2,3,4,5,2.下列各式不表示向量的是( ) A.0a B.a+3b C.|3a| D. (x,yR,且xy) 解析|3a|是向量3a的模,是实数而不是向量. 答案C,6,1,2,3,4,5,3.4(a-b)-3(a+b)-b等于( ) A.a-2b B.a C.a-6b D.a-8b 解析原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b. 答案D,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,5.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值. 解因为ka+3b与2a+kb共线, 所以存在实数,使ka+3b=(2a+kb), 即ka+3b=2a+kb,即(k-2)a=(k-3)b. 由于a,b不共线,1,2,3,4,5,6,