1第一部分 量子力学习题1）2）何谓微观粒子的波粒两象性？3)波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？tr,的物理含义是什么？2,tr4)设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动， axaxxxV0, 0, 0,)(试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值？5)设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子cba,能量的可能取值？6)证明在定态中，几率流与时间无关？7)由下列定态波函数计算几率流密度： 从所得结果说明表示向外传播的ikrikrerer1)2( 1)1(211球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。28)一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应 axaxx xU ， 0 00 )(的波函数？9)如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。 2,2,0 )(axax xU10) 证明下式中的归一化常数是， 。aA1 axaxaxanAn, 0 ),(sin 1.2在 0K附近，钠的价电子能量约为 3eV,求 de Broglie波长. 解：010A7.09m1009. 72 mEh ph # 1.3. 氦原子的动能为kTE23，求KT1时氦原子的 de Broglie波长。 解：010A63.12m1063.1232 mkThmEh ph 其中kg1066. 1003. 427m，123KJ1038. 1k # 1.4利用玻尔索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T10B，玻尔磁子123TJ10923. 0B，求动能的量子化间隔E，并与K4T及K100T的热运动能量相比较。 解：（1）方法 1：谐振子的能量22221 2qpE 1.2在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV,求 de Broglie 波长. 解：010A7.09m1009.72 mEh ph # 1.3. 氦原子的动能为kTE23，求KT1时氦原子的 de Broglie 波长。 解：010A63.12m1063.1232 mkTh mEh ph 其中kg1066.1003.427m，123KJ1038.1k # 1.4 利用玻尔索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T10B，玻尔磁子123TJ10923.0B，求动能的量子化间隔 E，并与K4T及K100T的热运动能量相比较。 解：（1）方法 1：谐振子的能量22221 2qpE 211) 质量为的粒子，在一维无限深势阱中中运动，m axxaxxV, 0 ,0 , 0若时，粒子处于状态上，0t xxxx32121 31 210 ,其中，为粒子的第个本征态。 xnn（1）求时能量的可测值与相应的取值几率；0t（2）求时的波函数及能量的可测值与相应的取值几率0ttx,12) 质量为的粒子，在阱宽为的非对称一维无限深势阱中运动，当ma时，粒子处于状态 0t xxxx32141 41 210 ,其中，为粒子的第个本征态。 xnn（1）求时能量的取值几率；（2）求时的波函数；0t0ttx,（3）求时能量的取值几率。0t13) 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。线谐振子在时处于 0t态上，其中为线谐振子第个本征 xxxx31021 23 210 , xnn值 对应当本征函数。（1）求在态上能量的可测值、取值几率与平均值；0 , x（2）写出时刻的波函数及相应的能量取值几率与平均值。0t14) 考虑单粒子的 Schrdinger 方程， 与为实函数。 trriVrVtrmtrti,2,21221V2V（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。 （b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为*32*32 2rdVSdimrddtdS315) 一维谐振子处在基态，求：tix ex2222 )(1)势能的平均值； (2)动能的平均值；22 21xU 22pT (3)动量的几率分布函数。16) 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？17) 物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？18) 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满xxxp 足的测不准关系。19) 厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质？Fnfn20) 指出下列算符； ； 哪个是线性的，说明其理由。22 24dxdx 2 nK 121) 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 22 4 dxd dxdidxd，22) 下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？22dxd， ， ， ， 2xxexsinxcos3xxcossin 23) 试求算符的本征函数。dxdieFix 24) 试以基态氢原子为例证明：的本征函数，而是的本征函UT或或不不是是 UT 数。25) 设波函数，求xxsin)( ?)(2 dxdxxdxd 26) 说明：如果算符和都是厄米的，那么(+)也是厄米的ABAB27) 问下列算符是否是厄米算符： xpx ) (21xppxxx 28) 如果算符满足关系式，求证 、1 4 222 2333 29) 求 ? xxxxLPPL? yxxyLPPL? zxxzLPPL30) 求 ? xxLxxL? yyLxxL? zzLxxL31) 氢原子处在基态，（为第一玻尔轨道半径）求：0/3 01),(are ar 0a(1)r 的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； re2(4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。32) 一维运动粒子的状态是 其中，求： 0 , 00 ,)(xxAxexx当当当当 0 (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。33) 证明：处于 1s、2p 和 3d 态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为的球壳处的几率最（为第一玻尔轨道半径）。00094aaa、0a34) 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。35) 设氢原子处于 ,YR 21,YR 21,YR21,112110311021rrrr的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取z值几率，进而求出它们的平均值。36) 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计0r算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。37) 一维无限深势阱中的粒子受到微扰)0(ax )2( )1(2)20( 2 )( axa axaxaxxH 作用，试求基态能级的一级修正。38) 设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作0201EE 及H 用， 微扰矩阵元为；都是实数。用微扰bHHaHH22112112及ba、公式求 能量至二级修正值。 39) 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。540) 计算氢原子由 2p 态跃迁到 1s 态时所发出的光谱线强度。第二部分 统计物理习题1）2）3）证明，并由此导出VTV TpTVC)()(22pTp TVTpC)()(22和VVVVVdVTpTCC0)(22 0pppppdpTVTCC0)(22 04）根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度 T 的函数。5）试证明，对于一维自由粒子，在长度 L 内，在的能量范围内，量d到子态数为：dm hLdD21 )2(2)(6）试证明，对于二维自由粒子，在面积 L2内，在的能量范围内，量d到子态数为：mdhLdD222)(7）在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为，试求在体积 V 内，在cp能量范围内三维粒子的量子态数。d到8）计算单原子分子的配分函数9）试根据普朗克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布：，并据此证明，使辐射密度取极大值的波长，满足185 kThc edhcdu m方程：（），这个方程的数值解为，因此 kThcxm55xex9651. 4x，随温度增加向短波方向移动。 khcTm9651. 4m10）计算温度为 T 时，在体积 V 内光子气体的平均总光子数，并据此估算（1）温度为 1000K 的平衡辐射和（2）温度为 3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度。