13.2 奇 偶 性,1函数的奇偶性 (1)定义 奇函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，则这个函数叫做奇函数 偶函数：设函数yg(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，则这个函数叫做偶函数,xD，且f(x)f(x),xD，且g(x)g(x),(2)性质 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数,坐标原点,坐标原点,y轴,y轴,(3)判断奇偶性 f(x)|x|；f(x)x2 (x1)； f(x)|x1|x1|. 答案 偶 既是奇函数，又是偶函数 非奇非偶 奇,2用定义判断函数奇偶性的步骤是： (1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数,0,0,奇,本节重点：奇偶函数的概念及图象的对称特征 本节难点：利用函数奇偶性的概念和图象的对称性，证明或判断函数的奇偶性,对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点： 函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的考察一个函数yf(x)是否具有奇偶性，不仅考察f(x)与f(x)之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称,以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)0，但f(x)0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件 奇函数yf(x)若在x0处有定义，则一定有f(0)0.,综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间a，b和b，a上有相同的单调性；偶函数在区间a，b和b，a上有相反的单调性(ab0) 有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数 有些判断奇偶性的题目，须先化简f(x)的表达式，观察其特点，然后再进行判断,例1 判断下列函数的奇偶性,分析 利用函数奇偶性定义来判断f(x)为奇函数 (2)f(x)定义域为R，且f(x)(x)21x21f(x)，f(x)为偶函数 (3)定义域为(，)，f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)为偶函数,(4)定义域为(，)，f(x)2x1， f(x)f(x)且f(x)f(x)， f(x)为非奇非偶函数 (5)定义域为1， 定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数,f(x)为偶函数,判断函数f(x)|xa|xa|(aR)的奇偶性 解析 f(x)的定义域为R，当a0时，f(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)， f(x)为奇函数， 当a0时，有f(x)0，f(x)既是奇函数又是偶函数.,例2 已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间 分析 由函数图象关于原点对称可知yf(x)是奇函数利用奇函数性质可求得解析式,解析 函数f(x)的图象关于原点对称 f(x)为奇函数，则f(0)0， 设x0，则x0，x0时，f(x)x22x3， f(x)f(x)(x22x3)x22x3 于是有：,先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象如下图由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(，1、1，)，单调递减区间是1,0)、(0,1,已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_. 答案 x1 解析 x0时，x0，f(x)x1， 又f(x)为偶函数，f(x)x1.,例3 已知ba0，偶函数yf(x)在区间b，a上是增函数，问函数yf(x)在区间a，b上是增函数还是减函数？ 分析 由函数的奇偶性进行转化 解析 设ax1x2b，则bx2x1a.f(x)在b，a上是增函数f(x2)f(x1) 又f(x)是偶函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2) 于是 f(x2)f(x1)，故f(x)在a，b上是减函数,点评 由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的,(1)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上是减函数，比较f(5)与f(3)的大小结果为_ (2)如果奇函数f(x)在区间1,6上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在6，1上是增函数还是减函数？求f(x)在6，1上的最大值和最小值 答案 (1)f(5)f(3),解析 (1)f(x)是偶函数，f(5)f(5)， f(x)在2,6上是减函数， f(5)f(3)，f(5)f(3) (2)设6x1x21，则1x2x16， f(x)在1,6上是增函数且最大值为10，最小值为4，4f(1)f(x2)f(x1)f(6)10， 又f(x)为奇函数，4f(x2)f(x1)10， 10f(x1)f(1) 解析 (1)奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2)， 必过点(2，1)和(4，2)， f(4)f(2)(2)(1)2. (2)偶函数f(x)满足f(3)f(1)， f(3)f(1) 点评 (1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号“f”内的负号，f(4)f(2)f(4)f(2)f(4)f(2)212.,辨析 要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性,一、选择题 1下列函数不具备奇偶性的是 ( )答案 C,2下列命题中真命题的个数为 ( ) (1)对f(x)定义域内的任意x，都有f(x)f(x)0则f(x)是奇函数 (2)对f(x)的定义域内的任意x，都有f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数,A1 B2 C3 D4 答案 D 解析 四个命题都正确，故选D.,3若函数yf(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是 ( ) A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 答案 D 解析 f(a)f(a)，点(a，f(a)在yf(x)的图象上，故选D.,4已知yf(x)是奇函数，且方程f(x)0有六个实根，则方程f(x)0的所有实根之和是 ( ) A4 B2 C1 D0 答案 D 解析 奇函数的图象关于原点对称，方程f(x)0的六个根，即f(x)图象与x轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称， 和为0.,5已知f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在(5，2)上是 ( ) A增函数 B减函数 C部分为增函数，部分为减函数 D无法确定增减性 答案 A 解析 f(x)(m1)x22mx3为偶函数， m0，f(x)x23，因此f(x)在(5，2)上为增函数，故选A.,6偶函数yf(x)在区间4，1是增函数，下列不等式成立的是 ( ) Af(2)f(3) Bf()f()答案 D,二、解答题 7判断下列函数的奇偶性,解析 (1)为偶函数xQ时，xQ， f(x)1f(x) 同理，x为无理数时，x也为无理数 f(x)1f(x)，f(x)为偶函数 (2)奇函数f(x)|2x1|2x1| |2x1|2x1|f(x)， f(x)为奇函数 (3)偶函数f(x)2|x|2|x|f(x)， f(x)为偶函数,(4)画出其图象如图，可见f(x)为奇函数,