一、形如 的积分,二、形如 的积分,三、形如 的积分,第三节 留数在定积分计算上的应用,四、小结与思考,2,思想方法 :,封闭路线的积分 .,两个重要工作:,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,3,形如,4,z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 .,包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.,5,例1,解,故积分有意义.,6,7,8,因此,9,若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次,并且R(x)在实轴上无孤立奇点.,一般设,分析,可先讨论,最后令,即可 .,二、形如 的积分,10,2. 积分区域的转化:,取一条连接区间两端的分段光滑曲线, 使与区间,一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为“围道积分法”),1. 被积函数的转化:,(当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x),可取 f(z)=R(z) .,11,这里可补线,(以原点为中心 , R为半径,的在上半平面的半圆周),内部(除去有限孤立奇点）处处解析.,取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,12,根据留数定理得 :,13,例2 计算积分,解,14,15,积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次,数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上,无孤立奇点.,与,曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点,包在这积分路线内 .,同前一型: 补线,一起构成封闭,都,三、形如 的积分,16,由留数定理:,17,例3 计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,18,19,四、小结与思考,本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.,20,思考题,21,思考题答案,