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直线、射线、线段(基础)知识讲解直线、射线、线段(基础)知识讲解撰稿:孙景艳 审稿:赵炜 【学习目标学习目标】 1理解直线、射线、线段的概念,掌握它们的区别和联系; 2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题; 3利用线段的和差倍分解决相关计算问题 【要点梳理要点梳理】 要点一、直线要点一、直线 1概念:概念:直线是最简单、最基本的几何图形之一,是一个不作定义的原始概念,直线常用 “一根拉得紧的细线” 、 “一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述 2. 表示方法:表示方法:(1)可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示,如图 1 所示,可表 示为直线 AB(或直线 BA)(2)也可以用一个小写英文字母表示,如图 2 所示,可以表示为直线 l3.基本性质:基本性质:经过两点有一条直线,并且只有一条直线简单说成:两点确定一条直线 要点诠释:要点诠释: 直线的特征:(1)直线没有长短,向两方无限延伸 (2)直线没有粗细 (3)两点确定一条直线 (4)两条直线相交有唯一一个交点 4.4.点与直线的位置关系:点与直线的位置关系: (1)点在直线上,如图 3 所示,点 A 在直线 m 上,也可以说:直线 m 经过点 A (2)点在直线外,如图 4,点 B 在直线 n 外,也可以说:直线 n 不经过点 B要点二、线段要点二、线段 1.1.概念:概念:直线上两点和它们之间的部分叫做线段 2.2.表示方法:表示方法: (1)线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示,如图所示,记作:线段 AB 或 线段 BA (2)线段也可用一个小写英文字母来表示,如图 5 所示,记作:线段 a3. “作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段”的两种方法:的两种方法: 法一:用圆规作一条线段等于已知线段例如:下图所示,用圆规在射线 AC 上截取 ABa法二:用刻度尺作一条线段等于已知线段例如:可以先量出线 段 a 的长度,再画一条等于这个长度的线段4. .基本性质:基本性质:两点的所有连线中,线段最短简记为:两点之间, 线段最短 如图 6 所示,在 A,B 两点所连的线中,线段 AB 的长度是最短的要点诠释:要点诠释: (1)线段是直的,它有两个端点,它的长度是有限的,可以度量,可以比较长短 (2)连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离 (3)线段的比较: 度量法:用刻度尺量出两条线段的长度,再比较长短 叠合法:利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上,使其中一个端点重合,另一个 端点位于重合端点同侧,根据另一端点与重合端点的远近来比较长短5. .线段的中点:线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点如图 7 所示,点 C是线段 AB 的中点,则,或 AB2AC2BC1 2ACCBAB要点诠释:要点诠释: 若点 C 是线段 AB 的中点,则点 C 一定在线段 AB 上 要点三、射线要点三、射线1. .概念:概念:直线上一点和它一侧的部分叫射线,这个点叫射线的端点 如图 8 所示,直线 l 上点 O 和它一旁的部分是一条射线,点 O 是端点l2. .特征:特征:是直的,有一个端点,不可以度量,不可以比较长短,无限长 3. .表示方法:表示方法:(1)可以用两个大写英文字母表示,其中一个是射线的端点,另一个是射线 上除端点外的任意一点,端点写在前面,如图 8 所示,可记为射线 OA(2)也可以用一个小写英文字母表示,如图 8 所示,射线 OA 可记为射线 l 要点诠释:要点诠释: (1)端点相同,而延伸方向不同,表示不同的射线如图 9 中射线 OA,射线 OB 是不同的 射线(2)端点相同且延伸方向也相同的射线,表示同一条射线如图 10 中射线 OA、射线 OB、 射线 OC 都表示同一条射线图 6图 7图 8图 9要点四、直线、射线、线段的区别与联系要点四、直线、射线、线段的区别与联系1. .直线、射线、直线、射线、线段之间的联系线段之间的联系 (1)射线和线段都是直线上的一部分,即整体与部分的关系在直线上任取一点,则可将 直线分成两条射线;在直线上取两点,则可将直线分为一条线段和四条射线 (2)将射线反向延伸就可得到直线;将线段一方延伸就得到射线;将线段向两方延伸就得 到直线 2三者的区别如下表三者的区别如下表要点诠释:要点诠释: (1) 联系与区别可表示如下:(2)在表示直线、射线与线段时,勿忘在字母的前面写上“直 线” “射线” “线段”字 样 【典型例题典型例题】类型一、相关概念类型一、相关概念1.下列说法中,正确的是( )A射线 OA 与射线 AO 是同一条射线B线段 AB 与线段 BA 是同一条线段C过一点只能画一条直线D三条直线两两相交,必有三个交点 【答案】B 【解析】射线 OA 的端点是 O,射线 AO 的端点是 A,所以射线 OA 与射线 AO 不是同一条射线, 故 A 错误;过一点能画无数条直线,所以 C 错误;三条直线两两相交,有三个交点或一个 交点(三条直线相交于一点时),所以 D 错误;线段AB 与线段 BA 是同一条线段,所以 B 正图 10确【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时,与字母的前后顺序无关,但射线必须是表示端点的字母写在前面,不能互换举一反三:举一反三:【变式 1】以下说法中正确的是 ( )A延长线段 AB 到 C B延长射线 ABC直线 AB 的端点之一是 A D延长射线 OA 到 C 【答案】A 【变式 2】如图所示,请分别指出图中的线段、射线和直线的条数,并把它们分别表示出 来.【答案】 解:如下图所示,在直线上点 A 左侧和点 C 右侧分别任取点 X 和 Y.图中有 6 条射线:射线 AX、射线 AY、射线 BX、射线 BY、射线 CX、射线 CY. 有 3 条线段:线段 AB(或 BA)、线段 BC(或 CB)、线段 AC(或 CA) 有 1 条直线:直线 AC(或 AB,BC).类型二、有关作图类型二、有关作图2如图所示,线段 a,b,且 ab用圆规和直尺画线段:(1)a+b;(2)a-b 【答案与解析】 解:(1) 画法如图(1),画直线 AF,在直线 AF 上画线段 ABa,再在 AB 的延长线上画线 段 BCb,线段 AC 就是 a 与 b 的和,记作 ACa+b (2) 画法如图(2),画直线 AF,在直线 AF 上画线段 ABa,再在线段 AB 上画线段 BDb, 线段 AD 就是 a 与 b 的差,记作 ADa-b【总结升华】在画线段时,为使结果更准确,一般用直尺画直线,用圆规量取线段的长 度举一反三:举一反三:【变式 1】下列语句正确的是( ) A画直线 AB10cm B画直线 AB 的垂直平分线C画射线 OB3cm D延长线段 AB 到 C 使 BCAB 【答案】D 【高清课堂:直线、射线、线段高清课堂:直线、射线、线段 397363397363 按语句画图按语句画图 3 3(3 3) 】 【变式 2】用直尺作图:P 是直线a外一点,过点 P 有一条线段b与直线a不相交. 【答案】 解:类型三、有关条数及类型三、有关条数及长度长度的计算的计算3.如图,A、B、C、D 为平面内 任意三点都不在同一条直线上的四点,那么过其中两点,可画出 条直线.【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数 【答案】6 条直线 【解析】由两点确定一条直线知,点 A 与 B,C,D 三点各确定一条直线,同理点 B 与 C、D 各确定一条直线,C 与 D 确定一条直线,综上:共有直线:3+2+1=6(条). 【总结升华】平面上有个点,其中任意三点不在一条直线上,则最多确定的直线条数为:n(1)123 .(1)2n nn 举一反三:举一反三:【变式 1】如图所示,已知线段 AB 上有三个定点 C、D、E(1)图中共有几条线段? (2)如果在线段 CD 上增加一点,则增加了几条线段?你能从中发现什么规律吗? 【答案】 解:(1)线段的条数:432110(条); (2)如果在线段 CD 上增加一点 P,则 P 与其它五个点各组成一条线段,因此,增加了 5 条线段. (注解注解:若在线段 AB 上增加一点,则增加 2 条线段,此时线段总条数为 12;若再增加 一点,则又增加了 3 条线段,此时线段总条数为 123;当线段 AB 上增加到 n 个点(即增加 n2 个点)时,线段的总条数为 12(n1)n(n1) .)21【变式 2】)如图直线 m 上有 4 个点 A、B、C、D,则图中共有_条射线【答案】8 4. 如图所示,AB40,点 C 为 AB 的中点,点 D 为 CB 上的一点,点 E 是 BD 的中点, 且 EB5,求 CD 的长【思路点拨】显然 CDCBBD,要求 CD 的长,应先确定 CB 和 BD 的长 【答案与解析】 解:因为 AB40,点 C 为 AB 的中点,所以11402022CBAB因为点 E 为 BD 的中点,EB5, 所以 BD2EB10所以 CDCB-BD20-1010 【总结升华】求线段的长度,注意围绕线段的和、差、倍、分展开,若每一条线段长度均 已确定,所求问题便可迎刃而解 【高清课堂:直线、射线、线段高清课堂:直线、射线、线段 397363397363 画图计算例画图计算例 2】2】举一反三:举一反三:【变式】在直线l上按指定方向依次取点 A、B、C、D,且使 AB:BC:CD=2:3:4,如图所 示,若 AB 的中点 M 与 CD 的中点 N 的距离是 15cm,求 AB 的长.【答案】 解:依题意,设 AB2x cm,那么 BC3x cm,CD4x cm则有:MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15解得:5 2x 所以 AB=2x =cm.5252类型四、最短问题类型四、最短问题5. 如图所示,在一条笔直公路 a 的两侧,分别有 A、B 两个村庄,现要在公路 a 上建 一个汽车站 C,使汽车站到 A、B 两村的距离之和最小,问汽车站 C 的位置应如何确定? 来源来源: :学科网学科网 ZXXKZXXK【答案与解析】 解:如图,连接 AB 与直线 a 交于点 C,这个点 C 的位置就是符合条件的汽车站的位置【总结升华】 “两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用,此类问题要与线段的性 质联系起来,这里线段最短是指线段的长度最短,连接两点的线段的长度叫做两点间的距 离,线段是图形,线段长度是数值举一反三:举一反三:【变式】 (1)如图 1 所示,把原来弯曲的河道改直,A、B 两地间的河道长度有什么变化? (2)如图 2,公园里设计了曲折迂回的桥,这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一 座直的桥相比,这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理【答案】 解:(1)河道的长度变小了(2)由于“两点之间,线段最短” ,这样做增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人 更好地观赏湖面风光,起到“休闲”的作用
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