学业水平训练 一、填空题 1有一山坡，倾斜角为 30，若某人在斜坡的平面上沿着一条与斜坡底线成 30角 的小路前进一段路后，升高了 100 米，则此人行走的路程为_米 解析：如图，hBCsin 30(ABsin 30)sin 30100，AB400.答案：400 2有一两岸平行的河流，水速为 1 m/s，小船速度为m/s，为使所走路程最短，小2 船应朝与水速成_方向行驶解析：如图小船从 A 处过河，则设小船行驶的方向与岸成 ，则因为水速为 1 m/s，小船的速度为 m/s，则 45，小船的方向与水速成 18045135.2答案：135 3在某塔塔底所在水平面上一点测得塔顶的仰角为，由此点向塔基沿直线行走 30m 后，测得塔顶的仰角为 2，再沿直线向塔基行进 30 m 后，又测得塔顶仰角为 4，则3 塔高_m. 解析：如图，BCCP30，BPAB30，3由余弦定理可得BCP120.PCD60.PD15.3答案：153 4一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60， 行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15，这时船与灯塔的距离为 _km. 解析：如图，由已知 AC60 km，B45，BAC30，由正弦定理得：，BCsin 3060sin 45 BC30 km.2答案：302 5测定河的宽度，在一岸边选定两点 A、B，使 AB120 m，从 A，B 望对岸标记物 C，测得CAB30，CBA75，则河宽为_m. 解析：CAB30，CBA75，ACB180CABCBA180307575.ACAB120 m.河宽 CD AC60 m.12 答案：60 6(2014徐州调研)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度 15的看 台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面6 上若国歌长度约为 50 秒，升旗手应以_(米/秒)的速度匀速升旗解析：在BCD 中，BDC45，CBD30，CD10(米)6由正弦定理，得 BC20(米)CDsin 45sin 303在 RtABC 中，ABBCsin 602030(米)332所以升旗速度 v0.6(米/秒)ABt3050 答案：0.67. CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在 CD 所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形 ABCD 中，ABC，BAD ，ABBC400 米，AD250 32 3 米，则应开凿的隧道 CD 的长为_米解析：在ABC 中，ABBC400 米，ABC ，3ACAB400 米，BAC .3CADBADBAC .2333在CAD 中，由余弦定理，得CD2AC2AD22ACADcosCAD400225022400250cos 122 500.3CD350 米答案：350 二、解答题 8. 如图，海中有一小岛 B，周围 3.8 海里内有暗礁一军舰从 A 地出发由西向东航行， 望见小岛 B 在北偏东 75，航行 8 海里到达 C 处，望见小岛 B 在北偏东 60.若此舰不改 变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？解：过点 B 作 BDAE 交 AE 于 D，由已知，AC8，ABD75，CBD60，在 RtABD 中，ADBDtanABDBDtan 75，在 RtCBD 中，CDBDtanCBDBDtan 60，ADCDBD(tan 75tan 60)AC8，BD43.8.8tan 75tan 60因此该军舰没有触礁的危险9. 一艘海轮从 A 处出发，沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 32的方向航行 54.0 n mile 后到达海岛 C.如果下次航行从 A 出发直接到 达 C，那么此船应该沿怎样的方向航行，需航行多少距离？(角度精确到 0.1，距离精确 到 0.01 n mile，cos 1370.731 4，sin 190.325 5)解：在ABC 中，ABC1807532137.ACAB2BC22 AB BC cosABC113.15.67.525422 67.5 54 cos 137sinCAB0.325 5.BCsinABCAC54sin 137113.15CAB19.0，75CAB56.0.此船应沿北偏东 56.0方向航行，需航行 113.15 n mile.高考水平训练 一、填空题1在锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 6cos C，则b aa btan C tan A的值是_tan C tan B解析：由 6cos C，得 b2a26abcos C.baab化简整理得 2(a2b2)3c2，将切化弦，tan Ctan Atan Ctan B得()sin Ccos Ccos Asin Acos Bsin Bsin Ccos Csin（AB）sin Asin B.sin CcosCsin Csin Asin Bsin2Ccos Csin Asin B根据正、余弦定理得sin2Ccos Csin Asin Bc2aba2b2c22ab4.2c2a2b2c22c232c2c2 答案：4 2一梯形的两腰长分别为 4 和 6，它的一个底角为 60，则它的另一个底角的余弦值 为_解析：如图，在梯形 ABCD 中，(其中 ADBC)，设 AB4，DC6.若ABC60，作 AEDC，则DCBAEB60，作 AEDC，在ABE 中，由余弦定理得 ，即 BE2206BE，方程无解BE2AE2AB22BEAE12综上，另一底角的余弦值为.63答案：63 二、解答题 3如图，地面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线 AB，测得 AB20 m，在 A 处测得点 P 的仰角为 30，在 B 处测得点 P 的仰角为 45，同时可测得 AOB60，求旗杆的高度解：设旗杆的高度为 h，由题意，知OAP30，OBP45.在 RtAOP 中，OAh.OPtan 303在 RtBOP 中，OBh.OPtan 45在AOB 中，由余弦定理，得 AB2OA2OB22OAOBcos 60，即 202(h)32h22hh .h2176.4，h13.3(m)旗杆的高度约为 13.3 m .3124004 34. 如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC.小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处， 小区里有两条笔直的小路 AD，DC，且拐弯处的转角为 120.已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 min，从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 min.若此人步行的速度为每分钟 50 m，求该扇形的 半径 OA 的长(精确到 1 m)解：法一：设扇形的半径为 r m.由题意，得 CD500(m)，DA300(m)，CDO60.在CDO 中，应用余弦定理有CD2OD22CDODcos 60OC2，即 5002(r300)22500(r300) r2，12解得 r445(m)4 90011法二：连结 AC，作 OHAC，交 AC 于点 H.由题意，得 CD500(m)，AD300(m)，CDA120.在ACD 中，应用余弦定理有AC2CD2AD22CDADcos 120500230022500300 7002，12AC700(m)cosCAD.AC2AD2CD22ACAD1114在 RtAOH 中，AH350(m)，cosHAO.1114OA445(m)AHcosHAO4 90011