十年高考分类解析与应试策略数学 第十一章 极限、导数与积分 考点阐释 本章为新教材增设内容，是学习高等数学的基础.它在自然科学、工程技术等方面都有 着广泛的应用. 重点掌握： 1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限，并能利用它解决有关问题. 2.了解函数在一点处的连续性的定义，从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大 值和最小值. 3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系，会求一些实际问题的最值. 4.掌握微积分的基本公式，理解定积分的几何意义.掌握直角坐标系中图形面积以及旋 转体体积的计算方法. 试题类编 一、填空题 1.（2002 天津理，15）直线 x=0，y=0，x=2 与曲线 y=（）x所围成的图形绕 x 轴2 旋转一周而成的旋转体的体积等于_. 2.（1998 上海，3）若，则 a= .2 3 3 lim 3 2 1 x axx x 3.（1996 上海理，16）= .) 2 1 4 4 (lim 2 2 xx x 二、解答题 4.（2002 天津文，21）已知 a0，函数 f（x）=x3a，x0，+）.设 x10，记曲 线 y=f（x）在点 M（x1，f（x1） ）处的切线为 l. （）求 l 的方程； （）设 l 与 x 轴交点为（x2，0）.证明： （i）x2a ； 3 1 （ii）若 x1a ，则 a x2x1. 3 1 3 1 5.（2002 天津理，20）已知 a0，函数 f（x）=，x（0，+）.设 x ax1 0x1，记曲线 y=f（x）在点 M（x1，f（x1） ）处的切线为 l. a 2 （）求 l 的方程； （）设 l 与 x 轴交点为（x2，0） ，证明： （i）0x2； a 1 （ii）若 x1，则 x1x2. a 1 a 1 6.（2001 天津理，21）某电厂冷却塔外形是如图 111 所示双 曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中 A、A是双曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点， B、B是下底直径的两个端点，已知 AA=14 m，CC=18 m，BB=22 m，塔高 20 m. （1）建立坐标系并写出该双曲线方程. （2）求冷却塔的容积（精确到 10 m3，塔壁厚度不计，取 3.14） 7.（1995 上海文，22）设 y=f（x）是二次函数,方程 f（x）=0 有两个相等的实根，且 f（x）=2x+2. （1）求 y=f（x）的表达式； （2）求 y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 8.（1995 上海理，22）设 y=f（x）是二次函数，方程 f（x）=0 有两个相等的实根，且 f（x）=2x+2. （1）求 y=f（x）的表达式； （2）若直线 x=t（0t1）把 y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等 分，求 t 的值. 说明：凡标有的试题与 2002 年教学大纲及 2003 年高考考试说明要求不符，仅供读者自 己选用. 答案解析 1.答案： 2ln 3 解析：由旋转体的体积公式 V=xx xx d )2(d)2( 2 0 2 0 2 . 2ln 3 ) 2ln 2 2ln 2 ( 02 2.答案：4 解析：依题意有：=2，a=4 31 31 a 3.答案： 4 1 解析：原式=. 4 1 ) 2 1 (lim 4 2 lim) 4 2 4 4 (lim 2 2 2 22 2 xx x x x x xxx 图 111 4.（）解：求 f（x）的导数：f（x）=3x2，由此得切线 l 的方程： y（x13a）=3x12（xx1）. （）证明：依题意，切线方程中令 y=0， x2=x1， 2 1 3 1 2 1 3 1 3 2 3x ax x ax （i）0，)2()( 3 1 )32( 3 1 3 1 1 2 3 1 12 1 3 1 2 1 3 12 1 3 1 2 axax x axax x ax x2a ， 3 1 当且仅当 x1=a 时等号成立. 3 1 （ii）若 x1a ，则 x13a0，x2x1=0，且由（i）x2a ， 3 1 2 1 3 1 3x ax 3 1 所以 a x2x1. 3 1 5.（）解：求 f（x）的导数：f（x）=，由此得切线 l 的方程： 2 1 x y（）=（xx1）. 1 1 1 x ax 2 1 1 x （）证明：依题意，切线方程中令 y=0， x2=x1（1ax1）+x1=x1（2ax1） ，其中 0x1. a 2 （i）由 0x1，x2=x1（2ax1） ，有 x20，及 x2=a（x1）2+. a 2 a 1 a 1 0x2，当且仅当 x1=时，x2=. a 1 a 1 a 1 （ii）当 x1时，ax11，因此，x2=x1（2ax1）x1，且由（i） ，x2， a 1 a 1 所以 x1x2. a 1 6.（1）如图 112 建立直角坐标系，xOy，使 AA在 x 轴上， AA的中点为坐标原点 O，CC与 BB平行于 x 轴. 设双曲线方程为=1（a0，b0） ，则 a=AA=7. 2 2 2 2 b y a x 2 1 图 112 又设 B（11，y1） ，C（9，y2） ，因为点 B、C 在双曲线上，所以有 1 7 11 2 2 1 2 2 b y 1 7 9 2 2 2 2 2 b y 由题意，知 y2y1=20. 由、，得 y1=12，y2=8.b=7.2 故双曲线方程为=1； 9849 22 yx （2）由双曲线方程，得 x2=y2+49. 2 1 设冷却塔的容积为 V（m3） ，则 . 8 12 328 12 28 12 | )49 6 1 (d)49 2 1 (d yyyyyxV 经计算，得 V=4.25103（m3）. 答：冷却塔的容积为 4.25103 m3. 评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所 学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力. 7.解：（1）设 f（x）=ax2+bx+c，则 f（x）=2ax+b，又已知 f（x）=2x+2 a=1，b=2. f（x）=x2+2x+c 又方程 f（x）=0 有两个相等实根， 判别式=44c=0，即 c=1. 故 f（x）=x2+2x+1. （2）依题意，有所求面积=. 3 1 | ) 3 1 () 12( 0 1 2320 1 xxxdxxx 评述：本题考查导数和积分的基本概念. 8.解：（1）与 7（1）相同.（2）依题意，有 ，xxxxxx t t d) 12(d) 12( 202 1 ， 023 1 23 | ) 3 1 (| ) 3 1 ( t t xxxxxx t3+t2t+=t3t2+t，2t36t2+6t1=0， 3 1 3 1 3 1 2（t1）3=1，于是 t=1. 3 2 1 命题趋向与应试策略 1.本章内容在高考中以填空题和解答题为主.主要考查： （1）函数的极限； （2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用； （3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积. 2.考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念 为目标.