勾股定理勾股定理1勾股定理(1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 (2)勾股定理的表达式：如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为：.22abc2(3)勾股定理的变形：(已知两边，求第三边的方法) 已知条件未知条件求解方法a、bcc2a2b2c a2b2a、cbb2c2a2b c2a2b、caa2c2b2a c2b2注意：勾股定理应用的前提条件必须是在直角三角形中，已知其中的任意两边的长，根据勾股定理可求出第三边的长在求解时要先画图，标上已知量，如图，分清要求的边是直角边还是斜边，然后再运用勾股定理或其变形进行解答【例 1】在ABC 中，C90，A，B，C 的对边分别是 a，b，c. (1)若 a3，b4，则 c_； (2)若 a6，c10，则 b_； (3)若 c34，ab815，则 a_，b_； (4)若 b5，B30，则 c_. 解析：解析：(1)c2a2b225，则 c5.(2)b2c2a264，则 b8.(3)ab815，设 a8x(x0)，b15x.又C90，c34，c2a2b2(8x)2(15x)2，c17x，17x34，x2，a16，b30.(4)C90，B30，c2b10.答案：答案：(1)5 (2)8 (3)16 30 (4)10 点拨：在直角三角形中，运用勾股定理求某一边的长时，先分清直角边和斜边，然后再利用勾股定理，可设未知数，通过建立方程(组)来解决2勾股定理的证明(1)方法：勾股定理的证明方法较多，仅选取一种加以说明如图所示网格图形中，每 一个小方格的边长为 1.根据图示填写表格，比较得出结论 A 的面积B 的面积C 的面积 图 116925 图 24913(2)结论： 两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积，即 SASBSC； 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 因为勾股定理既重要又简单，所以很容易吸引人，才使它成百次地被人反复论证.1940 年出版过一本名为毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑，其中收集了 367种不同的证明方法实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有 500余种【例 2】如图所示，在ABC 中，A90，P 是 AC 的中点，PDBC，D 为垂足， BC9，DC3，求 AB 的长分析：分析：由题可知BACPDC90，因此可以利用勾股定理进行计算 解：解：连接 PB.BC9，DC3，BD6.在 RtBDP 中，由勾股定理，得 PB2PD2BD2，即 PD2PB2BD2.在 RtPDC 中，由勾股定理，得PC2CD2PD2，PB2BD2PC2CD2.PB236PC29，PB2PC227.又P 为 AC 的中点，PB2PC2PB2AP2AB227，AB3.33运用勾股定理求边长(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么a2b2c2. (2)意义：勾股定理是直角三角形特有的定理，反映了直角三角形三边之间的数量关 系 (3)延伸：在直角三角形中，若两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a；b；c.c2b2c2a2a2b2在直角三角形中，知道其中任意两边，根据勾股定理就能求出第三边.运用勾股定理求边长，一定要注意弄清是求直角边还是斜边，注意是加还是减【例 3】小林是开发区中学升旗队的一名旗手，在升旗时发现从旗杆 AB 的顶端 A 处 垂下的绳子比旗杆 AB 长 1 米，他拿着绳子的下端拉开至 C 处，绳子恰好完全伸直，测得 点 C 距旗杆底部 B 的距离是 5 米请问：能根据这些条件求出旗杆的高度吗？若能，请写 出求解过程；若不能，请说明理由解：解：能求出旗杆的高度如图所示，BC5 米设 ABx 米，则 AC(x1)米在 RtABC 中，B90，由勾股定理得：AB2BC2AC2，即：x252(x1)2，解得：x12.即 AB12 米答：旗杆 AB 的高度为 12 米4勾股定理在等腰三角形中的应用 等腰三角形两腰相等；等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线相互重合，因此在 等腰三角形中，通过作高可以将等腰三角形分成两个直角三角形，特别是底边上的高，将 等腰三角形分解成两个全等的直角三角形 在等腰三角形中，底、腰、高三者之间知道任意两者都能求第三者如图(1)、图(2)分 两种情况：情况一：图(1)中，在 AB(或 AC)，BC，AD 三个量中，已知两个量，根据勾股定理， 可以直接求第三个量； 情况二：图(2)中，已知 AB，BD 求 BC，可以先求 AD，再求 DC，再求出 BC；已 知 AB，BC 求 BD，可借助于 BD2相等，列方程求出 AD 或 DC，再求出 BD；已知 BC，BD，可以列方程求 AB.作为等腰三角形中的特殊三角形“等边三角形” ，它的任一条高都具备“三线合一”性 质，都能将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，并且这些直角三角形还是含 30角的 直角三角形，因此，根据勾股定理，在边长、高、周长、面积四个量中，知道任何一个量 都能求出其他三个量 【例 41】如图所示，在等腰ABC 中，AB13，BC10，则底边上的高 AD 的长 是( )A11 B12 C13 D14 解析：解析：因为ABC 是等腰三角形，AD 是高，所以 BD BC5.12在 RtADB 中，由勾股定理，得AD12，故选 B.AB2BD213252答案：答案：B 【例 42】如图(1)，ABC 和DCE 都是边长为 2 的等边三角形，点 B，C，E 在同 一条直线上，连接 BD，求 BD 的长(1)(2) 分析：分析：要求 BD 的长，可构造直角三角形，使 BD 为该直角三角形中的边，如图(2)，过 D 作 DFBE 于 F，在 RtDFB 中运用勾股定理可求 BD 的长解：解：过 D 作 DFBE 于 F.因为DCE 为等边三角形，所以 DF 也是DCE 的中线，所以 CF CE1，所以 BFBCCF213.在 RtDFC 中，由勾股定理，得12DF2DC2CF222123.在 RtDFB 中，由勾股定理，得BD2BF2DF232312，所以 BD2.35勾股定理在含 30角的直角三角形中的应用 在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半所以在含 30角的直角三角形 中只要知道一边，就可以求出任何一边的长如：根据勾股定理可知，若最短边为 1,2,3，那么斜边就是 2,4,6，另一直角边就是，2，3，即 60角所对的333直角边和斜边分别是最短直角边的倍和 2 倍因此知道任意一边，就可以通过乘以或除3以它们之间的倍数计算得出另两边已知 30角所对的直角边为 a，那么另一直角边为a，斜边为 2a；已知3斜边为 c，那么最短直角边为 ，较长直角边为c.c232 【例 51】在ABC 中，C90，AB10，A30，则 BC_，AC_.解解 析：析：根据 30角所对的直角边等于斜边的一半可知，BC AB5.12根据勾股定理可知，AC5.AB2BC210252753答案：答案：5 53【例 52】等腰三角形一腰上的高为 1，这条高与底边夹角为 60，则此三角形的面 积是_ 解析：解析：如图所示，因为DBC60，CABC30，所以在直角ABD 中，BAD60，DBA30.根据 30角所对的直角边等于斜边的一半，所以三边满足ADABBD12，所以3ABBD21AC.S 1.332 332 33122 3333答案：答案：33 6列方程在勾股定理中的应用 在勾股定理的应用中，有时并不是已知两边求第三边，而很多时候只是告诉了两边之 间的关系，因此常常需要列方程解决 方法：一般是设其中一边为 x，用含未知数 x 的式子表示另一边，根据勾股定理构建 方程，通过解方程，解决问题如： 在锐角ABC 中，AB15，AC13，BC14，ADBC，垂足为 D，计算 DA 的长度我们可以通过设 DBx，那么 CD14x，根据勾股定理，在 RtABD 和 RtADC 中，分别用含 x 的式子表示出 AD2152x2和 AD2132(14x)2，从而构造方程，通过 解方程求出 x，即 DB，然后再求 AD 的长度 【例 61】在 RtABC 中，C90，已知 ab34，c10，则ABC 的面积为 ( ) A24 B12 C28 D30 解析：解析：ab34，设 a3k，b4k(k0)，由勾股定理，得 9k216k2100，解得 k2，a6，b8，SABC ab 6824.故选 A.1212 答案：答案：A 【例 62】矩形 ABCD 按如图所示折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB8，BC10，求折痕 AE 的长分析：分析：根据已知，将条件转化到 RtFCE 中，求出 FE，进而求出 DE，再求出折痕 AE. 解：解：在 RtABF 中，AB8，AFAD10，所以 BF6，AF2AB210282所以 CFBCBF4.设 DEx，那么 EFx，CE8x，在 RtFCE 中，则有 FE2CF2CE2，即 x242(8x)2，解得 x5，即 EF5.在 RtAEF 中，AE5.AF2EF21025257勾股定理与面积法 面积法是解决几何问题常用的一种方法，它巧妙地利用同一图形的面积的不同求法， 通过计算的方式求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间 的等量关系证明、计算更简捷、更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的解 题方法因为直角三角形的面积等于两直角边积的一半，也等于斜边乘以斜边上的高的一半， 所以根据勾股定理求边长，再运用面积法求线段的长是这部分内容中常用的方法 如图所示，在 RtABC 中，AC12，BC5，求 AB 边上的高 CD.可根据勾股定理求出 AB13，再根据面积相等得到 ABCD ACBC，即121213CD125，得 CD.6013因为直角三角形三边关系的特殊性，所以面积法通常用于直角三角形中求斜边上的高【例 71】直角三角形两直角边长分别为 8 和 15，则这个直角三角形斜边上的高为( )A8 B15 C17 D12017解析：解析：已知直角三角形两条直角边求斜边上的高时，采用面积法来求，根据是同一三角形的面积相等先求出斜边等于 17，再根据 81517斜边上的高，求得斜边上的高为.12017 答案：答案：D 【例 72】如图所示，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，若 AB10，ACBC31，则 CD 的长为( )A3 B3 C D61010解析：解析：ACBC31，设 BCk(k0)，则 AC3k.在 RtABC 中，由勾股定理，得