刚体力学 习题课,刚体力学小结,一、基本概念：,刚体：在任何外力作用下, 形状大小均不发生改变的物体。 是特殊的质点系。,刚体转动惯量：刚体对某定轴的转动惯量等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积的总和。,刚体的转动动能：,刚体定轴转动角动量：,力矩的功：,刚体的重力势能:,2、基本原理：,1）刚体角动量原理：,刚体定轴转动角动量原理：,2）刚体的角动量守恒定律：,刚体定轴转动角动量守恒定律：,3） 刚体定轴转动定律：,4）刚体定轴转动的动能定理：,合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。,三、基本计算：,本章的习题主要包括以下几个类型：,1、力矩的计算.,2、转动惯量的计算,3、刚体定轴转动定律的应用,4、刚体的角动量定理和角动量守恒定律的应用,5）刚体的机械能守恒定律:,若刚体在转动过程中, 只有重力矩做功, 则刚体系统 机械能守恒.,1、转动惯量的计算：,若质量离散分布：（质点，质点系）,若质量连续分布：,平行轴定理：,正交轴定律：,2）均匀圆盘（圆柱体）：,4）均匀球体：,3）薄圆环（薄圆筒）：,常用的转动惯量：,1) 均匀细棒,练习：求下列各刚体对O 轴的转动惯量：,5）薄球壳：,刚体定轴转动定律：,具体应用时应注意以下问题：,1) 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。 2) 一般选取物体的实际运动方向为正方向， 以此确定力矩及外力的正负。 3) 当系统中既有转动物体，又有平动物体时， 对转动物体用转动定律建立方程， 对平动物体则用牛顿运动定律建立方程。并找到各物理量之间的联系。,基本步骤：,1、选取研究对象，隔离物体，受力分析。 2、建立坐标系，确定正方向。 3、根据不同规律，分别列出运动方程。,1. 半径为 20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为 50cm的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速转动，在 4s 内被动轮的角速度达到 8 rads -1， 则主动轮在这段时间内转过了 圈。,因为轮作匀角加速转动，有,2. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1m2)，如图所示绳与轮之间无相对滑动若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等 (B) 左边大于右边 (C) 右边大于左边 (D) 哪边大无法判断, ,C,继续分析滑轮，设角加速度方向如图，则,设加速度a方向如图,联立解出：,与原假设方向相反,应该是：,根据转动定理：M=I 合外力矩的方向应该也是，,3. 如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且FMg设A、B两滑轮的角加速度分别为bA和bB，不计滑轮轴的摩擦，则有 (A) bAbB (B) bAbB (C) bAbB (D) 开始时bAbB，以后bAbB, ,C,4. 质量 m 的小孩站在半径为 R、转动惯量为 J 的可以自由转动的水平平台边缘上 (平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动).平台和小孩开始时均静止. 当小孩突然以相对地面为 v 的速率沿台边缘顺时针走动时,则此平台相对地面旋转的角速度 为,(C), A ,(D), 顺时针方向, 逆时针方向,(A), 逆时针方向,(B),逆时针方向,5.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速度 w 按图示方向转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力 F 沿盘面同时作用到盘上,则盘的角速度 w, A ,（A）必然增大;（B）必然减少; （C）不会改变;（D）如何变化,不能确定。,6.人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的,(A)动量不守恒，动能守恒。,(B)动量守恒，动能不守恒。,(C)角动量守恒，动能不守恒。,(D)角动量不守恒，动能守恒。, C ,7. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上( 圆盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动则盘转动时受的摩擦力矩的大小为。,解：设 为圆盘单位面积的质量，取所图所示圆环，求该圆环所受水平面的摩擦力矩的大小。,若该圆盘绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？,根据转动定理，得角加速度,因为盘作匀角加速转动，有,8. 一转动惯量为I的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为w0设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即Mkw (k为正的常数)，求圆盘的角速度从w0变为w0/2时所需的时间,解：,9. 光滑的水平桌面上有长为2l、质量为m的匀质细杆，可绕通过其中点O且垂直于桌面的竖直固定轴自由转动，转动惯量为ml2/3，起初杆静止。有一质量为m的小球在桌面上正对着杆的一端，在垂直于杆长的方向上，以速率v运动，如图所示当小球与杆端发生碰撞后，就与杆粘在一起随杆转动则这一系统碰撞后的转动角速度是_.,解：角动量守恒,10、一轻绳绕于半径为 r 的飞轮边缘，并以质量为m 的物体挂在绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量为J，若不计算摩擦，飞轮的角加速度 = ( ),11、一轻绳绕于半径 r = 0.2 m 的飞轮边缘，并施以F = 98 N 的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于39.2 rad / s2，此飞轮的转动惯量为（ ）,12、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举二哑铃在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的A）机械能守恒，角动量守恒B）机械能守恒，角动量不守恒C）机械能不守恒，角动量守恒D）机械能不守恒，角动量也不守恒,13、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反的子弹，子弹射入圆盘并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度：,A）增大。 B）不变。 C）减小。 D）不能确定。,14、一静止的均匀的细棒，长为L ，质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为1 / 3ML2 。一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为1/2v，则此时棒的角速度应为：,16、质量m = 1.1kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1 =1.0kg的物体，起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0 = 0.6 m/s上升时，撤去所加力矩，问经过多少时间圆盘开始作反向转动。,解：隔离定滑轮和物体分析受力。 规定物体运动方向为正方向。,关联方程：,联立解得：,17、质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示求盘的角加速度的大小,解：研究定滑轮的转动。分析所受力矩。取滑轮转动方向为正。,由转动定律：,研究物体1的运动。取向下为正。,关联方程：,研究物体2的运动。取向上为正。,18、已知m 1 ，m 2 ，M1 ，M2 ，R1 ，R 2 且m 1 m 2 。求：m 2 的加速度和 张力T1 ，T2 ， T3 。,解：设m 2 的加速度大小为a ，方向向上，而m 1 的加速度大小也为a ，方向向下。,对M1 、M2 分析力矩；由转动定律：,分析m1 、m2 的受力。由牛顿定律：,关联方程：,联立得：,19、一轴承光滑的定滑轮，质量M = 1.00kg，半径R = 0.10m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，一端系有一质量m = 2.00 kg 的物体，已知定滑轮的转动惯量 ,其初角速度0 = 5.00rad/s ，方向垂直纸面向里。求：1）定滑轮的角加速度。2）定滑轮角速度变化到零时，物体上升的高度。,解：1）研究定滑轮的转动。分析所受力矩。取滑轮转动方向为正。,由转动定律：,研究物体的运动。分析受力。取向上为正。,关联方程：,联立解得：,2）研究物体、定滑轮和地球组成的系统，在整个运动过程中，机械能守恒。取物体的初位置为势能零点。,法2,由刚体的运动公式：,20、物体A和B叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接。今用大小为 F 的水平力拉 A。设A、B和滑轮的质量都为m，滑轮的半径为R，对轴的转动惯量 。所有的摩擦都不计。已知F = 10N，m = 8.0kg，R = 0.050m。求：滑轮的角加速度及绳中的张力。,解：隔离定滑轮和物体A、B， 分析受力。规定物体运动方向为正方向。,对于物体A，应用牛顿第二定律，得：,对于物体B，应用牛顿第二定律，得：,对定滑轮，应用转动定律，得,关联方程：,联立上式求解，得：,21.如图,知A: m,l,质量均匀,开始时水平静止,B:m , , A竖直时被碰,然后滑行距离S.,求 :碰后A的质心可达高度h.,解:A由水平下摆至垂直,机械能守恒.,以地面为零势点,A与B碰撞对O点角动量守恒,B向右滑动,根据动能定理：,A向上摆动机械能守恒,可解得,思考:几个过程,各有何特点?,22. 一质量为M、长为l 的均匀细棒，悬在通过其上端O且与棒垂直的水平光滑固定轴上，开始时自由下垂，如图所示现有一质量为m的小泥团以与水平方向夹角为a 的速度击在棒长为3/4处,并粘在其上求： (1) 细棒被击中后的瞬时角速度； (2) 细棒摆到最高点时，细棒与竖直方向间的夹角q,解：(1) 选细棒、泥团为系统泥团击中后其转动惯量为,在泥团与细棒碰撞过程中对轴O的角动量守恒,泥团碰击前对轴O的角动量为：,22. 一质量为M、长为l 的均匀细棒，悬在通过其上端O且与棒垂直的水平光滑固定轴上，开始时自由下垂，如图所示现有一质量为m的小泥团以与水平方向夹角为a 的速度击在棒长为3/4处,并粘在其上求： (1) 细棒被击中后的瞬时角速度； (2) 细棒摆到最高点时，细棒与竖直方向间的夹角q,解：(2) 选泥团、细棒和地球为系统， 在摆起过程中，机械能守恒,23.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 IA10 kgm2 和 IB20 kgm2开始时，A轮转速为600 rev/min，B轮静止C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计A、B分别与C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止设轴光滑，求： (1) 两轮啮合后的转速n； (2) 两轮各自所受的冲量矩,解：(1) 选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守恒,转速,(2) A轮受的冲量矩,B轮受的冲量矩,负号表示与A方向相反,方向与A方向相反,24 一个刚体系统，如图所示，,已知，转动惯量,，现有一水平力作用于距轴为 l 处,求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。,解,设轴对棒的作用力为 N,由质心运动定理,打击中心,质心运动定理与转动定律联用,质点系,由转动定律,