第 1 页 共 8 页 DCB A 全等三角形问题中常见的辅助线全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法倍长中线法 ABC 中,AD 是 BC 边中线 方式 1：直接倍长，(图 1)： 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE 方式 2：间接倍长 1) （图 2）作 CFAD 于 F，作 BEAD 的延长线于 E, 连接 BE 2) （图 3）延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CD 【经典例题】 例 1 已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线 AD 的取值范围是_. （提示：画出图形，倍长中线 AD，利用三角形两边之和大于第三边） 例 2：已知在ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上， DE 交 BC 于 F，且 DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法 1：过 D 作 DGAE 交 BC 于 G，证明 DGFCEF E D A BC F E D CB A N D CB A M 第 2 页 共 8 页 E D F C B A 方法 2：过 E 作 EGAB 交 BC 的延长线于 G，证明 EFGDFB 方法 3：过 D 作 DGBC 于 G，过 E 作 EHBC 的延长线于 H，证明 BDGECH） 例 3、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小. F E C A B D F E C A B D F E C A B D 第 3 页 共 8 页 变式：如图，AD 为的中线，DE 平分交 AB 于 E，DF 平分交 AC 于 F. 求证：ABCBDAADC EFCFBE （提示：方法 1：在 DA 上截取 DG=BD，连结 EG、FG， 证明 BDEGDE DCFDGF 所以 BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法 2： 倍长 ED 至 H，连结 CH、FH，证明 FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边） 例 4：已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF 第 4 页 共 8 页 （提示：方法 1：倍长 AD 至 G，连接 BG，证明 BDGCDA 三角形 BEG 是等腰三角形。 方法 2：倍长 ED.试一试，怎么证明？） 例 5、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点， 求证：AD 平分BAE. （提示：倍长 AE 至 M,连接 DM） F E D A B C EDC B A F E D A B C 第 5 页 共 8 页 变式一：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线， 求证：C=BAE 提示：倍长 AE 至 F，连结 DF,证明 ABEFDE（SAS）,进而证明 ADFADC（SAS） 变式二：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线， 求证：2AEAC。 （提示：借鉴变式一的方法） 例 6：已知：如图，在中，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作交 AE 于点ABCACAB BADF / F，DF=AC. 求证：AE 平分 BAC 提示： 方法 1：倍长 AE 至 G，连结 DG ED A BC ED A BC 第 6 页 共 8 页 方法 2：倍长 FE 至 H，连结 CH 【练习练习】 1、在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长 AE、DF 交于 G,证明 AB=GC、AF=GF，所以 AB=AF+FC 2、已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DE/AB 交 BC 于 E，求证：CT=BE. 提示：过 T 作 TNAB 于 N， 证明 BTNECD F E A B C D D A B C M T E 第 7 页 共 8 页 3、 在ABC 中，AD 平分BAC，CMAD 于 M，若 ABAD，求证：2AMACAB。 4、ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，DAAC 于点 A，BAC=120， 求证：AB=2BC. DB C A D A B C M 第 8 页 共 8 页 5、如图，AB=AE，ABAE，AD=AC，ADAC，点 M 为 BC 的中点，求证：DE=2AM M B A C E D