思维的发掘 能力的飞跃初一数学联赛班年级17第 2 讲 轮换式和对称式知识总结归纳一基本轮换式：（1）xyz（2）222xyz（3）xyyzzx（4）333xyz（5）222x yy zz x（6）222xyyzzx（7） xyz二齐次轮换式：（1）一次齐次轮换式：()l xyz（2）二次齐次轮换式：222()()l xyzm xyyzzx（3）三次齐次轮换式：333222222()()()l xyzm x yy zz xn xyyzzxkxyz以上都是待定的常数lmnk、二轮换式与对称式的分解的一般方法：首先，把它看成一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式.非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解。特殊的轮换式可能有更简单的方法，不一定非用一般的方法去分解.对于的多项式xy、223322,xy xy xyxyx yxy在字母与互换时，保持不变，这样的多项式称为的对称式。xyxy、类似的，关于的多项式xyz、思维的发掘 能力的飞跃初一数学联赛班年级27222333222222,xyz xy xyzxyyzzx xyzxyz x yx zy zy xz xz y在字母中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为的对称式对称式.xyz、xyz、关于的多项式xyz、222333222,xyz xy xyzxyyzzx xyzxyz x yy zz x在将字母轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变.这样的多项式称为xyz、xyyzzx的轮换式轮换式。xyz、显然，关于的对称式一定是的轮换式.但是，关于的轮换式不一定是xyz、xyz、xyz、的对称式.例如就不是对称式.xyz、222x yy zz x两个轮换式(对称式)的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式） 。轮换式与对称式反映了数学的美.它们的因式分解也是井然有序的，可以按照一定的规律去做。典型例题一. 典型方法【例 1】 分解因式：.222()()()xyzyzxzxy【例 2】 分解因式：.333()()()a bcb cac ab思维的发掘 能力的飞跃初一数学联赛班年级37【例 3】 分解因式：.3333()()()()abcbcacababc【例 4】 分解因式：.333222()()()2xyzxyzyzxzxyxyz【例 5】 分解因式：.2222223x yy zz xxyyzzxxyz二. 齐次与非齐次【例 6】 分解因式：. 555()()()yzzxxy思维的发掘 能力的飞跃初一数学联赛班年级47【例 7】 分解因式：.222222()(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)yzxyxzzxyzyxxyzxzy三. 公式3333abcabc【例 8】 分解因式：.3333abcabc【例 9】 分解因式：.333()()()3()()()abcbcacababc bca cab四. 综合提高【例 10】分解因式：.555()abab思维的发掘 能力的飞跃初一数学联赛班年级57【例 11】证明：能被422234222342223()()()a bcab cabcabc整除.444222222222abca bb cc a【例 12】是大于 1 的自然数，证明：n2222222()()()()nnnnnnnxyzyzzxxyxyz能被4444444()()()()xyzyzzxxyxyz整除.【例 13】分解因式：.333() (2 )() (2 )() (2 )bcbcacacabababc思维的发掘 能力的飞跃初一数学联赛班年级67【例 14】已知：.求证：（为自然数）.3333()abcabc21212121()nnnnabcabcn【例 15】已知有理数、满足，求证，或，或.abc1111 abcabcab bc ca 【例 16】求证：.444222()()()1()()()()()()2xyzyzxzxyyz zx xyyzzxxy 思维的发掘 能力的飞跃初一数学联赛班年级77【例 17】求证：.()()() ()()()abbccaab bc ca abbccaab bc ca 【例 18】求证：2222222222222222224()4()4() 161616a cabcb aabcc babc ，其中.3 ()()()s sa sb sc1()2sabc思维飞跃【例 19】分解因式：.2()()()()bcdcdadababcbcad cdab dbac思维的发掘 能力的飞跃初一数学联赛班年级87作业1.分解因式：.()()()bc bcca caab ab2.分解因式：.2222222a baba cacb cbcabc3.分解因式：.3333()xyzxyz4.分解因式：.222()()()()()()bc bcca caab ab思维的发掘 能力的飞跃初一数学联赛班年级975.分解因式：.333()()()a bcb cac ab6.分解因式：.222222()()()b c bcc acaa bab7.分解因式：.444444()()()a bcb cac ab8.分解因式：.422422422()()()a bcb cacab思维的发掘 能力的飞跃初一数学联赛班年级1079.分解因式：.333(1)()(1)()(1)()a abcb bcac cab10. 证明：.22()()()()()abcbcdcdadababcd bcda cabdabcd abcd11. 已知，是三边边长.abcABC求证：.333222()()()40abca bcb cac ababc12. 已知：，求证： 三个数中，一定有两个数的和222222222 1222yzxzxyxyz yzzxxyxyz、等于第三个数。