第七节 解析函数与调和函数的关系,一、调和函数的定义,二、解析函数与调和函数的关系,三、小结与思考,2,一、调和函数的定义,定义,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.,3,二、解析函数与调和函数的关系,1. 两者的关系,定理,任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,证,4,根据解析函数高阶导数定理,证毕,5,2. 共轭调和函数的定义,区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,6,3. 偏积分法,如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.,解,例1,7,8,得一个解析函数,这个函数可以化为,9,4. 不定积分法,不定积分法的实施过程:,10,将上两式积分, 得,11,用不定积分法求解例1中的解析函数,例2,解,12,用曲线积分法求解例1中的解析函数,例4,解,13,例3,解,两边同时求导数,所以上面两式分别相加减可得,14,15,三、小结与思考,本节我们学习了调和函数的概念、解析函数 与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.,应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.,2. 满足柯西黎曼方程ux= vy, vx= uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒.,放映结束，按Esc退出.,