1 专题五专题五 分式（方程）的运算技巧分式（方程）的运算技巧 典例导析 类型一：等比形式设比例系数 例 1：已知x，y 满足 xzzyx 532 ，求 zy yx 2 5 的值。 点拨 令比例系数为k 1 ，把 x，y，z 都转化为 k。 解答 变式 若 a d d c c b b a ，求 dcba dcba 的值。 2 类型二：裂项相消 例2：计算 )102)(99( 1 )9)(6( 1 )6)(3( 1 )3( 1 xxxxxxxx L 点拨 形如 )( 1 knn 式可裂项，公式为 ) 11 ( 1 )( 1 knnkknn 解答 变式 化简： )()()(bcac ba abcb ac caba cb 类型三：巧取倒数 例 3：已知 15 1 ba ab ， 17 1 cb bc ， 16 1 ac ca 。求 cabcab abc 的值。 点拨 ab ba 可分解为 ba 11 3 解答 变式 已知 4 1 1 24 2 xx x ，求 2 24 3 4154 x xx 的值。 类型四：先化简，再求值。 例 4：先化简 1 1 ) 1 12 1 1 ( 2 2 x x x xx x ，再取一个适当的 x 值求值。 点拨 x 的取值必须使分式成立。 解答 4 变式：先化简 25 2 ) 55 ( 2 x x x x x x ，然后从不等式组 122 32 x x 的解集中选一个值求值。 类型五：整体代入求值 例 5：已知 10 11 ba ，求 baba baba 之值。 点拨 观察变形式 ab ab ba 11 可得出ab与 ba 整体之间的关系。 解答 变式 已知 0634zyx ， 072zyx ，求 222 222 75 632 zyx zyx 的值。 5 类型六：倒数和差 a x x 1 例 6：已知 3 1 x x ，求 5 5 1 x x 的值。 点拨 辗转运用乘法公式 解答 变式 若 013 2 xx ，则 _ 1 24 2 xx x 类型七：分式方程根的讨论 例 7：若 x 的方程 23 ) 1(2 21 1 2 xx a x a x 无解，求a的值。 点拨 分式方程无解要分两种情况讨论。 解答 6 变式 当a取何值时，关于 x 的方程 212 1 2 xx a x x x x 的根为正数。 类型八：妙解 ax bx 型分式方程 例 8：解方程 2013 2014 2017 2018 2016 2017 2014 2015 x x x x x x x x 点拨 按 ax bx 型分离整数系数 解答 7 变式 解方程 x x x x x x x x 29 211 217 219 215 217 211 213 培优训练 1、化简 12 1 ) 1( 1 22 2 2 aa a a a a 2、已知 0zyx ， 0xyz ，求 ) 11 () 11 () 11 ( yx z zx y zy x 的值。 8 3、若 x 的方程 3 2 4 x ax 无解，则a的取值为 。 4、若 x 的方程 1 2 2 x ax 的解是正数，则实数a的取值范围是 。 5、解方程 21 4 127 1 65 1 23 11 2222 xxxxxxxx 6、已知 1) 1( 112 22 2 x C x B x A xx xx ，其中 A，B，C 为常数，求 A+B+C 的值。 竞赛训练 1、已知a，b，c 满足 11cba ， 17 13111 accbba ， 则 _ ba c ac b cb a 9 2、已知 1 yx xy ， 2 zy yz ， 3 xz zx ，求 y。 3、若分式方程 xx k xxx k 222 51 1 1 有增根 1x ，则 k 取值为 。 4、若 1abc ，则 _ 111 cca c bbc b aab a 5、已知a，b，c 为整数，且 1126449 222 cbacba ， 则 _) 111 (abc cba