第四章 常微分方程,4.1 微分方程的基本概念,一、引例,解,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,二、微分方程的基本概念,定义：,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,微分方程的阶:,高阶导数的阶数称为微分方程的阶.,微分方程中出现的未知函数的最,分类1:常微分方程：未知函数是一元函数;,一阶常微分方程,一般n阶常微分方程的形式：,偏微分方程：未知函数是二元或二元以上函数.,分类2：线性与非线性微分方程.,如果微分方程,的左端为未知函数 y 及它的各阶导数,的一次有理整式，则称该 微分方程为n阶线性,n阶线性微分方程的一般形式为：,微分方程.,三、微分方程的解及积分曲线,微分方程的解:,微分方程的解的分类：,(1)通解: n阶微分方程的解中含有n个相互独立的,任意常数的解.,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,n阶微分方程的通解含有n个独立的任意常数，,若上式表示为,则称为微分方程的显式解，否则称为隐式解或通积分.,它的一般形式为:,(2)特解: 确定了通解中任意常数的解.,微分方程的解的曲线称为积分曲线.,含有任意常数的通解的曲线称为积分曲线族.,(不含任意常数的解).,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,注：n阶方程应有n个初始条件.,解,所求特解为,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,四、小结,