截长补短法例例 1.1.已知，如图 1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD +BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角， 图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来 实现.证明：过点D作 DE 垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图 1-2BD平分ABC，DE=DF，在RtADE与RtCDF中， CDADDFDERtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180例例 2.2.已知，如图 3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD. 求证：BAP+BCP=180. 分析：与例 1 相类似，证两个角的和是 180，可把它们移到一起，让它们是邻补角， 即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P作 PE 垂直 BA 的延长线于点E，如图 3-21=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中， BPBPPDPERtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.FEDCBA图 1-2ABCDP12N图 3-1P1 2NABCDE图 3-2ABCD图 1-1ADBCE图 2-1在RtAPE与RtCPD中,DCAEPDCPEAPDPERtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180例例 3.3. 如图 2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取 CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目 的.证明：在CD上截取CF=BC，如图 2-2在FCE与BCE中，CECEBCEFCECBCFFCEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，43DEDEADEFDEFDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.ADBCEF1234图 2-2例例 4.4.已知：如图 4-1，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即 延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图 4-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,ADADEB21ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图 4-3在AFD与ACD中,ADADACAF21AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.DCBA12图 4-1EDCBA12图 4-2FDCBA12图 4-3