第七章 线性离散控制系统 分析与校正,7 线性离散系统的分析方法,7.1 离散系统的基本概念 7.2 信号采样与保持 7.3 z变换理论 7.4 离散系统的数学模型 7.5 离散系统的稳定性与稳态误差 7.6 离散系统的动态性能分析,本章主要内容 本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习了采样过程及采样定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及求取方法、离散系统时域分析方法。,本章重点 了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换的定义、性质和逆Z变换方法； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法； 掌握线性离散系统的分析方法和原则。,控制系统中有一个以上部件的输出信号是一串脉冲形式或是数数字（数码），由于信号在时间上是离散的，这类系统称为离散系统。 两类离散系统： （1）采样控制系统或脉冲控制系统 离散信号是脉冲序列（时间上离散） （2）数字控制系统或计算机控制系统 离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）, 7-1 离散采样系统的基本概念,炉温采样控制系统,炉温采样控制系统,炉温计算机（数字）控制系统, 7-1 离散采样系统的基本概念,脉冲控制系统的特点： 系统结构简单、投资少，适合于要求不高的场合。,数字控制系统的特点：,（1） 在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制； （2） 通常采样周期远小于被控对象的时间常数； （3） 采样开关合上的时间远小于断开的时间； （4） 采样周期通常是相同的。,模拟控制器与数字控制器,数字控制器代替模拟控制器的控制过程 首先通过模拟量输入通道对控制参数进行采集，并将其转换为数字量 然后送入计算机后按一定的算法进行处理，运算结果由模拟量输出通道转换为模拟量输出。并通过执行机构控制生产过程，以达到期望的控制效果。 在计算机控制系统中，计算机就充当了数字控制器的角色。,输入/出为模拟，而控制算法计算为数字量,为什么要设计数字控制器,设计数字控制器的两种途径,在一定条件下，将计控系统近似看成模拟系统，用连续系统的理论来进行动态的分析和设计。再将结果变成数字计算机的算法。这种方法叫模拟化设计方法，又叫间接设计法。 把计控系统作适当的变换，变成纯粹的离散系统，用Z变换等工具进行分析设计，直接设计出控制算法。这种方法叫离散化设计方法，又叫直接设计法。,两种方法的比较,模拟化设计方法可引用成熟的经典设计理论和方法。但在“离散”处理时，系统的动态特性会因采样频率的减小而改变，甚至导致闭环系统的不稳定。只是一种近似的方法 离散化设计方法运用的数学工具是Z变换与离散状态空间分析法。这种方法是一种直接数字设计方法，不仅更具有一般性，而且稳定性好、精度高。相对而言有时称为精确法。需要注意的是，该法的精确性仅限于线性范围内以及采样点上才成立。,数字控制系统中的两个关键部件： A/D转换器：把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字信号（二进制的整数），A/D转换器可以认为采样周期为 TS 的理想采样开关。,D/A转换器：把离散的数字信号转换为连续模拟信号。, 7-1 离散采样系统的基本概念,采样 时间上离散,量化 数值上离散,零阶保持器 (ZOH),离散采样系统的研究方法 （1）用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。 （2）用离散系统的状态空间分析法对系统进行分析、设计。 （略）, 7-1 离散采样系统的基本概念,计算机控制系统典型原理图,A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程。,D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。, 7-2 信号的采样与保持,1、采样过程 2、理想采样过程的数学描述 3、采样信号的Laplace变换 4、香农采样定理 5、信号保持,采样过程,(7-1),开关闭合 开关打开,在采样控制系统中,把脉冲序列转变为连续信号的过程,称为信号复现过程.实现复现过程的装置称为保持器,如图7-3所示.,保持器的作用有:, 实现两种信号之间的转换;, 对脉冲信号进行复现滤波,避免高频噪声加入到系统的连续部分中去.,e*(t),eh(t),图7-3 复现过程,2、理想采样过程的数学描述,3、采样信号的Laplace变换, 7-2 信号的采样与保持,例1 设 ，求 的L变换,例2 设 为常数，求 的L变换, 7-2 信号的采样与保持,如果采样器的 输入信号 具有有限带宽，各分量最高频率为 ，则只要采样周期满足以下条件：,信号 即可从采样信号 中恢复过来。, 7-2 信号的采样与保持,4、香农采样定理,工程上采样周期的选取原则,满足香农采样定理前提下，采样周期尽量小； 满足采样周期尽量小和计算量、存储量的平衡； 采用经验公式选择。,信号复现的条件：,2,脉冲序列互不搭接，即：,采样与保持,如果满足条件s 2h ，频谱的主分量与补分量相互分离，可以采用一个低通滤波器，将采样信号频谱中的镜像频谱滤除，来恢复原连续时间信号。 当s 2h 时，采样频谱中的补分量相互交叠，致使采样器的输出信号发生畸变。,香农(Shannon)采样定理 信号完全复现的必要条件,图7-8 零阶保持器,由于零阶保持器前后的信号可分别表示为：,如图7-8所示.,零阶保持器,其频率特性为,从上式可以看出，零阶保持器将对控制信号产生附加相移(滞后)。对于小的采样周期，可把零阶保持器Gh(S)近似为：,2选择采样周期T（实际选择方法）,由图可见,零阶保持器具有如下特性:, 低通特性.零阶保持器基本上是一个低通滤波器,但与理想滤波器相比,在 时,其幅值只有初值的0.637., 相角滞后特性.相角滞后随 的增大而增加,从而使闭环系统的稳定性变差., 时间滞后特性.零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t),其平均响应为 ,表明其输出比输入在时间上要滞后T/2,对系统的稳定性不利.此外,阶梯输出也同时增加了系统输出的波纹.,不理想的低通滤波器,零阶保持器对系统的影响,5.2一阶保持器,模拟化设计方法,模拟化设计方法的基本思路,在一定的条件下（采样频率足够高），将系统看成是连续系统，用已知的连续系统的设计方法（根轨迹法，频域设计法等）设计一个闭环控制系统的模拟控制器。设计模拟控制器 然后再用离散化方法将模拟控制器离散化成为一个数字控制器 离散化 这种设计方法对采样频率的要求比较严格，仅适用于一些慢变信号的控制，否则误差比较大。,离散化方法,问题是：假设已经用连续系统的方法设计出了模拟控制器，下面要讨论的就是要用什么样的方法将模拟控制器转换为数字控制器，我们把这种方法叫作离散化方法。,3 离散化设计方法,差分变换法 零阶保持法 双线性变换法,3 离散化设计方法差分变换法,把原始的连续校正装置传递函数D(s)转换为微分方程。微分方程的表示形式中的微分可以用差分近似 于是微分方程可以用差分方程来近似。为了便于编程，离散化一般只采用后向差分法。 一阶后向差分： 二阶后向差分：,例子,t=KT,离散化设计方法零阶保持法,基本思想：保持离散化后的数字控制器的阶跃响应序列与模拟控制器的阶跃响应的采样值相等。,离散化设计方法零阶保持法,基本思想：保持离散化后的数字控制器的阶跃响应序列与模拟控制器的阶跃响应的采样值相等,离散化设计方法零阶保持法,常用拉普拉斯-z变换表,双线性变换法,双线性变换又称突斯汀(Tustin)变换法，它是s与z关系的另一种近似式。由Z变换的定义知道,运用级数展开式得到,总结： (1)上述各方法只要原有的连续系统是稳定的，则变换以后得到的离散系统也是稳定的。 (2)采样频率对设计结果有影响，当采样频率远远高于系统的截止频率时(100倍以上)，用任何一种设计方法所构成的系统特性与连续系统相差不大。随着采样频率的降低，各种方法就有差别。按设计结果的优劣进行排序，以双线性变换法为最好，即使在采样频率较低时，所得的结果还是稳定的。其次是后向差分。 以上各种设计方法在实际工程中都有应用，可根据需要进行选择,课程小结,7.1 离散系统,离散系统：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码,7.2 信号采样与保持,A/D:,D/A:,用 ZOH 实现,Shannon定理,或,7.3 Z变换理论,解,解,注：,一、 z变换定义,z 变换只对离散信号而言,E(z) 只对应惟一的e*(t)，不对应惟一的e (t),二、 z变换方法,7.3 z变换理论,例4,例3,7.3 z变换理论,例5,解.,7.3 z变换理论,采样函数的z变换是变量z的幂级数。,例6,解.,求E(z)=?,7.3 z变换理论,常见函数的z变换,7.3 z变换理论,1. 线性性质,三、 z变换的基本定理,2. 实位移定理（时移定理）, 延迟定理,7.3 z变换理论,2. 实位移定理, 超前定理,7.3 z变换理论,3. 复位移定理,例7,7.3 z变换理论,4. 初值定理,证：,例8,7.3 z变换理论,5. 终值定理,例9,证：,7.3 z变换理论,6. 卷积定理,设：,则：,四、 Z 反变换,7.3 z变换理论,线性定常系统，输入输出关系可用卷积分表示,7.3 z变换理论,解法II: (查表法 部分分式展开法),7.3 z变换理论,解法III: (留数法 反演积分法),7.3 z变换理论,查表法：,7.3 z变换理论,留数法：,7.3 z变换理论,解.,7.3 z变换理论,五、 Z 变换的局限性,（1）只反映采样点上的信息；,（2）以下条件不满足时，连续 信号在采样点处会有跳变。,+零阶保持器,7.3 z变换理论,7.3小结,7.3小结,1.线性性质,7.3.3 z变换的基本定理,2.实位移定理,延迟定理,3.复位移定理,超前定理,4.初值定理,5.终值定理,6.卷积定理,7.3小结,7.3.4 Z 反变换,幂级数法（长除法）,查表法（部分分式展开法）,留数法（反演积分法）,以 的形式展开,本次课程作业 P346：7 2, 3（1），4，5,一、离散系统的数学定义 二、差分方程及其解法 三、脉冲传递函数的定义和推导 四、开环系统脉冲传递函数 五、闭环系统脉冲传递函数, 7-4 离散系统的数学模型,数学模型：差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达式 图形化：结构图,一、离散系统的数学定义,将输入序列 r(n) 变换为输出序列c (n) 的一种变换关系,称为离散系统., 线性离散系统 离散系统满足叠加原理,则称为线性离散系统。 线性定常（LTI）离散系统 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统, 7-4 离散系统的数学模型,二、差分方程及其解法,(1)差分的概念 差分与连续函数的微分相对应。不同的是差分有前向差分和后向差分之别。见右图。 连续函数f(t)， 经采样后为f*(t)， 在kT时刻，其采样值为f(kT)，常写作f(k)。,两个采样点信息之间的微商即称为差分。, 7-4 离散系统的数学模型,一阶前向差分的定义： 二阶前向差分的定义： n阶前向差分的定义：, 7-4 离散系统的数学模型,一阶后向差分的定义为： 二阶后向差分的定义为： n阶后向差分的定义为：, 7-4 离散系统的数学模型,(2)差分方程 若方程的变量除了含有f(k)本身外，还有f(k)的各阶差分f(k)、2f(k)、nf(k)，则此方程称为差分方程。,描述LTI离散系统动态过程的差分方程一般形式：,