SU(2)群表示的张量语言,张宏浩,2,SU(2)群的基础表示及其复共轭表示,3,SU(2)群基础表示的生成元可选取为,T1和T2还可以组合为,4,注意：SU(2)群基础表示的生成元不是唯一的。 若保持T3=(1/2)3不变，令,即,则根据 可得,5,考虑SU(2)群的伴随表示Wa， Wa可以与SU(2)群的生成元T_a组合成T_a Wa,其中,特别地，当T_a为基础表示的生成元 时，T_a Wa的矩阵形式为,6,考虑SU(2)群的不变量,不妨定义Wij为,显式地有,7,若令,即,则有,即,8,同理，,即,9,容易证明,Proof:,10,注意：另一种常用约定是,即,11,考虑一个三重态,其中的待定参数 c_i不妨取为实数,同时约定,现在令,可得,对比,12,再令,其中T_a为三重态所在表示的生成元， Wij为前面所求得的(1,1)型张量， 就可以求得c_i，最多只差一个整体的负号。,13,SU(2)群三维不可约表示的生成元有两种常见约定,约定一：,约定二：,(1,1)型张量Wij也有两种不同约定,约定A：,约定B：,14,15,C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004,在这篇文章中，为了构造标量7重态、费米子5重态、费米子3重态 之间的相互作用，我们用到了张量语言。,16,C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004,17,C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004,18,用张量语言来写相互作用项,C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004,考虑SU(2)群 的7重态,并将的厄米共轭约定为,19,其中c_i为实数,下面来说明这些张量语言的字典是怎么得来的,由和它的厄米共轭，可构造SU(2)群的不变量,对比第一行和第三行 可得,20,选取SU(2)群的7维表示的生成元为,21,7维表示的生成元T_a与伴随表示的Wa可组合为,22,23,结合dag, , T_aWa可得到一个SU(2)群的不变量,24,将二阶张量Wij约定为,构造如下的SU(2)群不变量，先来看它里面W3的系数,对比上页结果，可得,25,再来看W+的系数,26,对比W+的系数可得,即,