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函数的基本性质31学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性) ,能应 用函数的基本性质解决一些问题。(2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象 和单调性定义判断、证明函数单调性的方法(3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性; (2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程 一、一、函数的单调性函数的单调性 1单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数的定义域为:如果对于属于内某个区间上的任意( )f xII两个自变量的值、,当时都有,那么就说在这个区间1x2x1x 2x12()()f xf x( )f x 上是增函数。 (2)减函数:如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时1x2x1x 2x都有,那么就说在这个区间上是减函数。12()()f xf x( )f x(3)单调性:如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数( )yf x在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做的单调区间。( )yf x( )yf x2、单调性的判定方法 (1)定义法:判断下列函数的单调区间:21 xy (2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,增函数,从左往右,图像下降即为减函数减函数。 (3)复合函数的单调性的判断:设,都是单调函数,则在)(xfy )(xgu ,bax,nmu ( )yf g x上也是单调函数。,ba若是上的增函数,则与定义在上的函数的单调性相)(xfy , m n ( )yf g x,ba)(xgu 同。若是上的减函数,则与定义在上的函数的单调性)(xfy , m n ( )yf g x,ba)(xgu 相同。 即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数 的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正” )练习:(1)函数的单调递减区间是 ,单调递增区间为 24xy (2)的单调递增区间为 5412 xxy3、函数单调性应注意的问题:单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数4例题分析证明:函数在上是减函数。1( )f xx(0,)证明:设任意,(0,+)且,1x2x12xx则,21 12 121211()()xxf xf xxxx x由,(0,+) ,得,又,得,1x2x120x x 12xx210xx,即12()()0f xf x12()()f xf x所以,在上是减函数。1( )f xx(0,)说明:一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如:不能说xy1是原函数的单调递减区间;)0 ,(), 0( 练习:1 根据单调函数的定义,判断函数的单调性。3( )1f xx2根据单调函数的定义,判断函数的单调性。( )f xx二、函数的二、函数的奇偶性奇偶性 1奇偶性的定义:(1)偶函数:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,( )f xx()( )fxf x那么函数就叫做偶函数。例如:函数, 等都是偶函( )f x2( )1f xx4( )2f xx 数。(2)奇函数:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,( )f xx()( )fxf x 那么函数就叫做奇函数。例如:函数,都是奇函数。( )f xxxf)(xxf1)((3)奇偶性:如果函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函数具有奇偶性。( )f x( )f x说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称;(2) 或必有一成立。()( )fxf x()( )fxf x 因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算,看是等于还是等于,然后下结论;若定义域关于原点不()fx( )f x( )f x对称,则函数没有奇偶性。 (3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。(4)函数既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足0)(xf也满足。)()(xfxf)()(xfxf(5)一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称,反过来,如果一个函数的图形关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数。y(6)奇函数若在时有定义,则0x (0)0f2、函数的奇偶性判定方法(1)定义法 (2)图像法 (3)性质罚 3例题分析: 判断下列函数的奇偶性:(1) ( ) (2)( )2( ) |f xxx21( )2 |2|xf xx说明:在判断与的关系时,可以从开始化简;也可以去考虑()fx( )f x()fx或;当不等于 0 时也可以考虑与 1 或的关系。( )()f xfx( )()f xfx( )f x() ( )fx f x1五小结:1函数奇偶性的定义; 2判断函数奇偶性的方法; 3特别要注意判断函数奇偶性时,一定要首先看其定义域是否关于原点对称, 否则将会导致结论错误或做无用功。二、函数的二、函数的最大值或最小值最大值或最小值学习评价 自我评价 你完成本节学案的情况为( ).A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差经典例题1下面说法正确的选项( ) A函数的单调区间可以是函数的定义域 B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2在区间上为增函数的是( )0 ,( )AB 1y21xxyC D122xxy21xy3函数是单调函数时,的取值范围( cbxxy2)1 ,(xb ) A B C D 2b2b2b2b 4如果偶函数在具有最大值,那么该函数在有( ,ba,ab ) A最大值 B最小值 C 没有最大值D 没有最小值课后作业 1在区间(0,)上不是增函数的函数是( )Ay=2x1By=3x21Cy=Dy=2x2x1x22函数 y=(x1)-2的减区间是_ _3偶函数在上单调递增,则从小到大排列的顺( )f x0,( 2),( 3),()2fff序是 ; 4已知是 R 上的偶函数,当时,求的解析式。( )f x0x 2( )2f xxx( )f x5 (12 分)判断下列函数的奇偶性; ;xxy13xxy2112高中数学必修高中数学必修 1 1 函数的基本性质函数的基本性质1奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x),则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质, 则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意:函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;1由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的2任意一个 x,则x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;1确定 f(x)与 f(x)的关系;2作出相应结论:3若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称;设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:( )f x( )g x12,D D奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇 2单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1f(x2)) ,那么就说 f(x)在区 间 D 上是增函数(减函数) ; 注意:函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1x2时,总有 f(x1)f(x2)2(2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数 y= fg(x),其中 u=g(x) , A 是 y= fg(x)定义域的某个区间,B 是映射g : xu=g(x) 的象集: 若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= fg(x)在 A 上是增函数; 若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= fg(x)在 A 上是减函数。(4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤:任取 x1,x2D,且 x1x2;1作差 f(x1)f(x2);2变形(通常是因式分解和配方) ;3定号(即判断差 f(x1)f(x2)的正负) ;4下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 。5(5)简单性质 奇函数在其对称区间上的单调性相同; 偶函数在其对称区间上的单调性相反;在公共定义域内:增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数)(xf)(xg)(xf)(xg减函数是增函数;减函数增函数是减函数。)(xf)(xg)(xf)(xg3最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的xI,都有 f(x)M;存在 x0I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的xI,都有 f(x)M;存在 x0I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意:函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0I,使得 f(x0) = M;1函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 xI,都有 f(x)2M(f(x)M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;1利用图象求函数的最大(小)值;2利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:3如果函数 y=f(x)在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大
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