1.6 波函数的统计解释,（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质 （四）自由粒子的波函数,3个问题？,(1) 是怎样描述粒子的状态呢？,(2) 如何体现波粒二象性的？,(3) 描写的是什么样的波呢？,（一）波函数,返 回1,（二）波函数的解释,（1）两种错误的看法,1. 波由粒子组成,如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。,这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。,电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。,波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。,事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。,2. 粒子由波组成,电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 。 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。,（2）Born 波函数的统计解释 几率波,我们再看一下电子的衍射实验,结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。,r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。,在电子衍射实验中，照相底片上,据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数 (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。,假设衍射波波幅用 (r) 描述，与经典波相似， 衍射花纹的强度则用 | (r)|2 描述，但意义与经典波不同。,| (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说， | (r)|2 x y z 表示在 r 点处，体积元x y z 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对 值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，,返 回,（三）波函数的性质,在 t 时刻， r 点，d = dx dy dz 体积内，找到由波函数 (r,t)描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C| (r,t)|2 d， 其中，C是比例系数。,根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：,（1）几率和几率密度,在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 称为几率密度。,在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d,（2） 平方可积,由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C | (r , t)|2 d= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ | (r , t)|2 d,这即是要求描写粒子量子状态的波函数必须是绝对值平方可积的函数。,若, | (r , t)|2 d , 则 C 0, 这是没有意义的。,（3）归一化波函数,这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。, (r , t ) 和 C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。 因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是：,由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一状态,可见， (r , t ) 和 C (r , t ) 描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。,归一化常数,若 (r , t ) 没有归一化， | (r , t )|2 d= A （A 是大于零的常数），则有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 也就是说，(A)-1/2 (r , t )是归一化的波函数，与 (r,t )描写同一几率波，(A)-1/2 称为归一化因子。 注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若 (r , t )是归一化波函数，那末，expi (r , t ) 也是归一化波函数（其中是实数），与前者描述同一几率波。,2.1 波函数的统计解释,一 波函数的统计解释,对物质波的理解，由于受经典概念的影响，曾存在着激烈的争论。这些争论主要有：,1. 电子波包,扩散,部分电子,2. 大量电子组成的波,（误解）,3. M. .Born的几率波,有关实验：,子弹,水波,光波,电子,双缝衍射,子弹：P=P1+P2,波：II1+I2,电子：,1。与宏观粒子运动不同。 2。电子位置不确定。 3。几率正比于强度，即,波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。,结论：,数学表达：,归一化：,二.自由粒子的波函数,一般地，我们用复数形式,则自由粒子的平面波,遮住缝1,遮住缝2,双缝都打开,遮住缝1,遮住缝2,双缝都打开,2.2 测不准原理,一. 宏观粒子运动状态确定，各种力学量同时具有确定值。但微观粒子的运动从根本上讲不具有这种特点。,共轭量,二.量子力学中的测量过程,海森伯 1927年,1.海森伯观察实验,2.测量过程,被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响不可控制和预测。,三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒子具有波动性的必然结果。并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时具有确定的值,2.3 态迭加原理,测不准原理和态迭加原理是量子力学的两个基本原理，反映了微观粒子运动的根本特性，是和量子力学对微观粒子描述的整个数学框架相一致的。,首先我们就应该指出，本节所讲的内容是比较抽象和难于理解和接受的。因为它反映的微观粒子的运动特点是和你们头脑中经典物理图象和思考方式格格不入的。也正因如此，它反映了微观粒子的运动如何与经典物理的图象形成尖锐的矛盾，并反映出它运动的本质特性。,一.态及态函数,经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表实际物体的运动等），并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加性其实质是什么呢？,经典物理中，波函数的最本质的性质是迭加性。对微观粒子的波动性，从电子衍射实验知，其实质也是波的迭加性。,二 .态迭加原理,|2=|c11+c22|2=(c1*1*+c2*2*)( c11+c22)=|c11|2+|c22|2+c1*c21*2+c1c2*12*,当然，几率的相干迭加是电子衍射实验所揭示的直接结果。但是，既然微观粒子的波函数是态函数，在这里迭加性就具有更深刻的意义。设1，2 是体系的两个状态，则迭加性表明： =c1 1 +c2 2 也是体系的可能状态。此时粒子出现的几率是：,量子力学的态迭加原理，导致了粒子各种力学量观测值的不确定性，是由微观粒子的波粒二性所决定的。,态迭加原理是由波的迭加性和波函数完全描述一个微观体系的状态这两个概念的概括。,态迭加原理的表述：,若1，2是体系的两个可能状态，那么它们的线性迭加=c11+c22也是体系的一个可能状态。,三.动量的几率分布,可以证明，任何波函数都可以看作是不同动量的平面波的迭加：,其中：,而：, 2.4 薛定谔方程,本节我们讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律，即薛定谔方程。,应该明确，薛定谔方程是量子力学的最基本方程，也是量子力学的一个基本假设。我们并不能从一个更基本的假设来推导或证明它。其正确性只能靠实践来检验。我们只是用一个比较简单的办法来引述它。,1.薛定谔方程应满足下列条件：,b) 是线性方程,c) 只含基本常数，不含状态参数。,2.自由粒子满足的方程,对自由粒子：,3.力场中运动粒子的波动方程,能量关系：,4.三个算符,2.5 粒子流密度和粒子数守恒定律,1.几率流密度矢量,利用薛定谔方程：,令,则,连续性方程,几率流密度矢量,质量密度,质量流密度,电流密度,二.波函数的标准化条件,在变化范围内,2.6 定态薛定谔方程,一.稳定势场中的薛定谔方程,带入薛定谔方程并分离变量,求解定态薛定谔方程，我们得到体系（原方程）的一系列特解,二.定态,以后，我们还要证明，此时,习题：52页1.2,第二章小结,一.微观体系的状态由一个波函数完全描述。,二.测不准原理,1.测不准原理,2.量子力学中的测量过程,“仪器”和被测量体系见得相互作用过程。测量过程对体系的运动状态存在不可控制和不可预测的干扰。,3. 微观体系的各种力学量不可能同时具有确定值，是微观粒子运动的本质属性。它并不是测量方法或实验技术的缺陷所造成的；是微观粒子具有波动性的必然结果。,三. 态迭加原理,1.微观粒子波动性的实质是 态的迭加,衍射花样的形成并不是由不同电子之间的干涉形成的，而是由电子的不同的运动状态之间的迭加而形成 的，是电子与自身的干涉。,2.态迭加原理=波的迭加+波状态,四.薛定谔方程,