第五章 动态电路的时域方程,线性时不变系统为重点介绍状态方程的列写和求解,电网络分析的状态变量法就是状态方程法，是一种系统或电路分析的有效方法。,这种方法列方程容易，不必化为一个变量的函数，状态变量的变化率可以用状态变量来表示，物理意义清楚，很适合用数值法求解，而且以状态方程为基础的状态空间分析对非线性和时变系统也很有效。,目前线性非时变问题的状态方程，理论上都已解决，你们已学过的“矩阵论及其应用”第四章矩阵微分方程就有专门的论述。,状态变量分析的基本概念 状态方程的建立 线性状态方程的解析解法 状态方程的小信号分析 建立状态方程的五种方法,主要内容,建立状态方程的五种方法直观法 系统法（特有树）稀疏表格法改进节点法端口分析法,5-1状态变量分析的基本概念,一、状态、状态变量、状态方程,状态是一个抽象的概念。在自然界和工程技术领域中，状态是事物的一种客观存在(P184)。事实上，对系统和电路来说，所谓状态就是系统或电路的能量状态，下面给出定义。,电路的状态：一组最少数据,1.对于某一任意时刻t0，可以根据t0时刻的状态及t t0时的输入波形来唯一地确定t t0的任一时刻的状态；,2.根据在t时刻的状态及t时刻的输入(或者输入的导数)能够唯一地确定在t时刻的任一电路变量的值。,*电路的状态实质上是指电路的储能(量)状况。,状态变量、状态向量和状态空间,状态变量：描述状态的变量,动态电路的状态变量是确定动态电路运动行为的一组最少变量。记作 x1 (t) , x2 (t), ,xn (t)是一组独立完备变量。,初始状态: 电路在初始时刻tt0的状态,状态向量: n个状态变量x1 (t) x2(t) 、xn (t) 构成的向量x(t),状态空间：以状态向量的各个分量x1、x2、xn为轴所构成的n维欧氏空间。,(1)线性时不变网络,A为系数矩阵，B为控制矩阵,(2)线性时变网络,(3)非线性网络,时变网络,时不变网络,状 态 方 程,状态方程,若不是标准形式，可以变换成标准形式,规范化，变换成标准形式,变换，令,例如,输出方程：联系输出与状态变量和输入之间的关系式,y为输出向量,x为状态向量, u为输入向量, C和D为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵。,(2)线性时变网络,(3)非线性网络,输出方程,(1)线性时不变网络,规范型状态方程的特征,规范型状态方程的特征: (1)每个方程式的左端只有一个状态变量对时间的一阶导数; (2)每个方程式右端是激励函数与状态变量的某种函数关系,但不出现对时间的导数项。,半状态描述,E为奇异矩阵,定义,网络中独立初始条件的数目,即独立完备的状态变量数目。,线性时不变网络的复杂度,uC(或qC)和iL(或L)选作电路的状态变量的个数。,二、网络的复杂度(校外不讲！) (Order of Complexity),常态网络,对于仅由电阻、电感、电容和独立电源组成的网络,如果不存在仅由电容和独立电压源组成的回路(称为C-E回路)和仅由电感和独立电流源构成的割集(称为L-J割集),则称为常态网络。,C-E回路,非常态网络 含有C-E回路和或L-J割集的网络称为非常态网络,又叫蜕化网络。,C-E回路:,仅由电容和/或电压源组成的回路,C-E回路又称为纯电容回路或全电容回路,L-J割集,L-J割集:,仅由电感和/或电流源组成的割集,常态网络的复杂度就等于网络中的储能元件的数目。,L-J割集又称为纯电感割集或全电感割集,独立电容电压,C-E回路中一个电容电压不独立,独立电感电流,非常态网络的复杂度,L-J割集中一个电感电流不独立,广义常态网络及其复杂度,对于电阻、电感、电容、D型元件、E型元件和独立电源组成的网络,如果不存在仅由电容、D型元件和独立电压源组成的回路(广义C-E回路)和仅由电感、E型元件和独立电流源构成的割集(广义L-J割集),则称为广义常态网络,否则称为广义非常态网络。,广义常态网络的复杂度,广义常态网络,广义非常态网络的复杂度,当网络中不存在仅由D型元件和独立电压源组成的回路和仅由E型元件和独立电流源组成的割集时,等号成立。,广义非常态网络的复杂度,若存在，则：？,其中 为第k个广义C-E回路中所含电容和D型元件中最低阶元件的阶数（电容的阶数为1）；,其中 为第k个广义L-J回路中所含电感和E型元件中最低阶元件的阶数（电感的阶数为1）。,确定C-E回路和L-J割集的拓扑方法,(1)用开路方法确定(广义)C-E回路数:开路is RLE型元件,在开路操作后的子网络NCD中任选一个树,C-E回路数(广义)等于NCD中的连支数。,用拓扑法决定独立的(广义)C-E回路和(广义)L-J割集,(2)用短路方法确定(广义)L-J割集数：短路us RCD型元件,在短路操作后的子网络NLE中任选一个树, L-J割集数(广义)等于NLE中的树支数。,C-E回路和L-J割集可通过网络的等效变换消去,对于含有受控源和负元件的网络复杂度与网络中的元件值有关。,设网络有一个树T。T中含有所有的电压源、尽可能多的电容元件、电阻元件、尽可能少的电感元件等。,三、C-E回路和L-J割集的消去,树中的电压源、电容元件和补树中的电容元件组成C-E回路；树中的电感元件和补树中的电感元件和电流源元件组成L-J割集。,（1）如果该回路中连支电容是压控的，树支电容要么都是压控的要么都是荷控的，则可开路连支电容,其它电容用等效的荷控电容代替。,(2) 如果该割集中树支电感是流控的,连支电感要么都是流控的要么都是链控的，则可用短路线代替树支电感,其它电感用等效链控电感代替。,5-2 状态方程的建立,状态方程的建立方法,直接法,间接法,1、线性动态电路的状态方程,列写步骤,(1) 选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为预选状态变量；,一、状态方程的直观列写法,(2) 对每个独立的电容，选用一个割集，并依据KCL和电容的VAR列写节点方程；,(3) 将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理成标准形。,对每个独立的电感，选用一个回路，并依据KVL和电感的VAR列写回路方程；,例1,一、状态方程的直观列写法（续）,借助拓扑图的列写步骤,(1) 包含所有的独立电压源；不包含独立电流源；,(2) 包含尽可能多的电容和压控型高阶元件；,(3) 包含尽可能少的电感和流控型高阶元件；,1. 选择树（proper tree）,2. 选树支上电容电压、压控型高阶元件电压和连支上电感电流、流控型高阶元件电流为预选状态变量,3. 对电容树支的基本割集列写KCL方程；对电感连支的基本回路列写KVL方程。,4. 借助未使用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形式。,例2,例3,例4,例5,2.线性时变网络的状态方程,对时变电感元件 ，选磁链(t)作为状态变量 。,状态变量的选择,对时变电容元件 ，选电荷 qC(t)作为状态变量 。,例6,非线性电路状态方程标准形式为,x为n维状态变量向量，F是x的某种非线性函数向量。,3.非线性动态电路状态方程列写,状态变量的选择,压控电容的电压、荷控电容的电荷,流控电感的电流、链控电感的磁链,一般取元件特性的控制量,元件特性条件表,先选树，再建方程,电 容,荷控,压控,电 感,电 阻,忆 阻,流控,流控,荷控 链控,流控 链控,压控,荷控 链控,非线性动态电路状态方程的列写示例,例7,例8,例9,例10,Jump,输入输出方程到状态方程 （校外不讲！ ）,线性状态方程的解析方法（矩阵函数法、复频域解法都很有用，课件都有，请自学！）,二、从输入输出方程到状态方程,实现：由输入输出方程确定其状态空间表示,取 为系统的n 个状态变量,且设,情形1,矩阵形式为,即,A为友矩阵,系统的输出方程,即,2.设x1、x2、x n 为所讨论系统的一组状态变量,而 为该系统的另一组状态变量，则,讨论,1.若动态系统的输入函数为零,那么状态方程为,2.设x1、x2、x n 为所讨论系统的一组状态变量,而 为该系统的另一组状态变量，则,3.特征方程,特征方程的根称为A的特征值或本征值，也称之为特征方程的特征根。,由,特征方程,得,4. 线性变换不改变特征值,概括,若系统的输入为零,则有齐次状态方程,一个n阶线性时不变动态系统,若输入中不含有导数项,则其状态方程为,若,(a),(b),取,为状态变量,情形2,(c),（1）如果沿用状态变量, 则所得的n个一阶微分方程为,(2)当采用式(b)所表示的一组状态变量时,可以得到,(d),再根据式(b)和式(c),可得,即,A仍为友矩阵,如果矩阵A的特征矩阵,的不变因子为,矩阵论P76！,则称A为属于 的相伴矩阵(或友矩阵),的Smith标准型为,A就是一个友矩阵！,动态系统的输出方程为,即 ,一个线性动态系统的输入中含有导数项并不会影响矩阵A中各元素,只会影响矩阵B中各元素。,若,通过定义适当的辅助函数，,向量形式,情形3（非线性系统）,如果该非线性动态系统为多输入系统,则有,5-3 线性状态方程的解析方法（讲矩阵函数法！拉变（S域）,分类1：数值解法解析解法,分类2：时域解法频域解法,状态方程的解法分类,u为系统的输入，x和u均为t的函数。,一、线性状态方程的时域解法,1、线性时不变网络状态方程的解法,（1）非齐次标量微分方程解的形式,线性时不变网络状态方程的解法,在等式两边乘以,从0_到t积分，得,矩阵指数函数eAt 及其性质,性质,定义,eAt又称为状态转移矩阵,的性质,对于线性时不变网络,状态方程的解析解,非齐次状态方程的矩阵形式,等式两边左乘矩阵指数函数,从0_到t积分，得,零输入响应,零状态响应,输出方程的解,如果系统运行的初始时间为t0 ,则,输出方程,其解为,零输入响应,零状态响应,冲激响应矩阵,定义,零状态响应为,称为冲激响应矩阵,矩阵指数函数的计算,凯莱-哈密顿(Cayley Hamilton)定理,(i) 化 为有限项之和进行计算,一个n阶方阵必定满足于它自身的特征方程,一个n阶方阵A必定满足于它自身的特征方程,n阶方阵A的特征方程为,情况1 A的特征值各不相同,特征根为单根,的转置称为范德蒙矩阵,矩阵形式,范德蒙矩阵,例题,特征根有重根,情况2 A的特征根1为m阶重根,其它特征根均为单根。则重根部分方程为,例题,（ii）化A为对角阵进行计算,当A为友矩阵时，P可取范德蒙矩阵。,或者,设A有n个彼此相异的实特征根1, 2,n。,定义,diag1,2,n；,若P(1),(2),(n)，则(k)满足 A(k)k(k),(k1,2,n),取,代入状态方程,例题,实例,解耦状态方程,系统输电线路实例,2.线性时变网络状态方程的解法,状态方程为,状态方程的解为,输出方程为,其解为,二 状态方程的复频域解法,线性时不变网络的状态方程为,令,对状态方程两边取拉氏变换,状态方程的复频域解,零输入响应象函数 零状态响应象函数,状态方程的时域解为,矩阵(s1A)1称为预解矩阵,输出方程,称为网络函数矩阵,例题,式中,零输入响应象函数 零状态响应象函数,Jump,5-4状态方程的小信号分析,一、自治网络的小信号分析,U代表电路中m维直流电源向量。,平衡点,自治网络的状态方程,对于任一点x Q,如果 在x Q处为零,则把x Q称为自治状态方程的平衡点。,平衡点,对于任一点x Q,如果 在x Q处为零,则把x Q称为自治状态方程的平衡点。,