概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第 1 页 第三章 随机变量的数字特征第一节 数学期望一、选择1. 掷 6 颗骰子，令为 6 颗骰子的点数之和，则（ D ）X()E X （A） （B） （C） （D） 4221/ 27/ 2212. 对离散型随机变量，若有 ，则当（ B ）时，X()kkP Xxp(1,2,3,)k 称为的数学期望。 1kk kx pX（A）收敛 （B）收敛 （C）为有界函数 （D）1kk kx p 1kk kxp kxlim0kkkx p 二、填空1. 设随机变量的概率密度为则 0 。X1,10,( )1, 01,0,xxf xxx 其它， E X 2. 设连续型随机变量的概率密度为 其中，又已知X, 01,( )0,kxxf x 其它,0k，则 3 ， 2 。 0.75E X k 三、简答题1.把 4 个球随机地放入 4 个盒子中去，设表示空盒子的个数，求。X E X解： ，4 4 460464AP X 123 443 4361464C C AP X ，24 4 4(22)212464CP X3 4 413464CP X 所以 6362118101236464646464E X 2.设的联合概率密度为，求。(, )X Y212, 01,( , )0,yyxf x y 其它， ,E XE Y概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第 2 页 解：，同理。 1200 014( , )125xy xE Xxf x y dxdyxdxy dy 3 5E Y 第二节 随机变量函数的数学期望一、填空1. 设随机变量服从参数为 1 的指数分布，则数学期望 。X2XE Xe4/32. 设随机变量服从二项分布，则 2.16 。X(3,0.4)B 2E X二、简答题 1.设随机变量和相互独立，概率密度分别为XY,0,( )0,0,xXexfxx,0,( )0,0,yYeyfyy求随机变量函数的数学期望。ZXY解：因为和相互独立，所以XY,0,0,( , )( )( )0,x yXYexyf x yfx fy 其它 00()x yE ZE XYxy edxdy 0000xyxyxe dxe dye dxye dy。1 12 2.按季节出售某种应时商品，每售出 1 获利润 6 元,如到季末尚有剩余商品，则每kg净亏损 2 元，设某商店在季节内这种商品的销售量（以计）是一随机变量，kgXkg在区间内服从均匀分布，为使商店所获得利润最大，问商品应多少货？X8,16解： 设 表示货量，易知应取，货 所得利润记为，且有t816t t()tW X62(),8,()()6 ,16,()tXtXXtW XttX有积压，无积压利润是随机变量，如何获得最大利润？自然取“平均利润”的最大值，即求()tW X概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第 3 页 使得最大。的概率密度为t()tE W XX1, 016,( , )8 0,xf x y 其它，1681()( ) ( )( )8tttE W XW x f x dxW x dx16821162()68814322ttxtxdxtdxtt令 得 。()140,td W Xtdt 14t 而22()10,td E W Xdt 故知当时，取得极大值，且可知这也是最大值。14t ()tE W X所以，货 14时平均利润最大。kg第三节 关于数学期望的定理一、填空 1. 已知离散型随机变量服从参数为 2 的泊松分布X22(),0,1,2,!kkeP Xxkk 则随机变量的数学期望 4 。32ZX E Z 2. 设服从泊松分布，已知，则 1 。X(1)(2)1EXX E X 3.设表示 10 次独立重复射击命中目标的次数， ，每次射中目标的概率为，则的X0.42X数学期望 18.4 。 2E X概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第 4 页 二、简答题1. 设在上服从均匀分布，其中为轴，轴及直线所围成的区(, )X YAAxy10xy 域，求。32EXY解：因为的面积为，所以的概率密度为A1 2(, )X Y2,10, 10,( , )0,xyf x y 其它， 0011( , )21E Xxf x y dxdyxdxdy ( , )1E Yyf x y dxdy 32321EXYE XE Y 2.一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以表示停车的次数，求。 （设每位旅客在各个车站X E X下车是等可能的，并设旅客是否下车相互独立） 解： 引入随机变量 ，0,1,ii 在第站没有人下车，在第站有人下车，i=1, 2, 10.易知，现在来求。1210XXXX E X按照题意， 209010iP X2091110iP X 所以2091,1,2,1010iE 而 201210910 18.78410E XE XXX概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第 5 页 第四节 方差与标准差二、选择1. 对于任意两个随机变量和，若，则（ B ）XY()() ( )E XYE X E Y（A） （B） ()()( )D XYD X D Y()()( )D XYD XD Y（C）和独立 （D）和不独立XYXY2. 设两个相互独立的随机变量和的方差分别是和，则随机变量的方XY4232XY 差是（ D ） 。 （A） （B） （C） （D）81628443. 设随机变量和相互独立,又，则下列结论不正确的是（ 25X38YB ）（A） （B） ()4 ( )9 ( )D XYDD()4 ( )9 ( )D XYDD（C） （D）()()( )E XYE XE Y()() ( )E XYE X E Y二、填空1. 设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量 则方差X1,21,0, 0,0, 1,0X YX X ，。 D Y 8/92. 设是一随机变量, ， 则 4 。X()1E X (1)4E X X ()D X 三、简答题1. 设的联合概率密度为，求。(, )X Y215, 01,( , )0,xyyxf x y 其它， D X解：， 122005( , )156xE Xxf x y dxdyx dxy dy， 12232005( , )157xE Xx f x y dxdyx dxy dy。 225255 736252D XE XE X概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第 6 页 第五节 某些常用分布的数学期望与方差三、选择1. 设服从 （ C ）分布，则。X()()E XD X（A） 正态 （B） 指数 （C）泊松 （D）二项2. 已知服从二项分布，且，则二项分布的参数为（ B X()2.4E X ()1.44D X ）（A） （B） 4,0.6np6,0.4np（C） （D）8,0.3np24,0.1np二、填空1. 已知随机变量在上服从均匀分布，则 .X0,2 2E X4/32. 设，且服从参数为的泊松分布，则 2 12P XP XX()E X 2 。()D X 三、简答题1. 设二维随机变量在区域内服从均匀分布，试求(, )X Y:01,Rxyx（1）的边缘概率密度；X（2）随机变量函数的方差。21ZX D Z解：因为区域的面积为 1，所以的联合概率密度为R(, )X Y1, 01,( , )0,xyxf x y 其它，（1）当或时，当时，0x 1x ( )0Xfx 01x( )2xXxfxdxx 所以的边缘概率密度为X2 ,01,( )0,Xxxfx 其它。（2）， 10223E Xx xdx 1220122E Xxxdx概率论与数理统计标准作业纸 班级 学号 姓名第 7 页 2222144()( () )9D ZDXD XE XE X