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破解直线与圆中的破解直线与圆中的“定定”的问题的问题直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容,是高考必考考点之一,考题中往往涉及定点、定直线、定圆等“定”的问题,其本质就是曲线系,蕴含着数形结合思想、函数与方程思想等。在解答此类问题的探索过程中,学生常常找不到解题的切入点,为此,我们须弄清此类问题,切实掌握其解决的方法。一、定点问题一、定点问题我们对于过定点的直线系并不陌生,如是过定点的直线系,ykx0,0O是常数)是过定点的直线系,是常数)是过定点(ykxb b0,b( ,yk xab a b的直线系,等等,那么,如何迅捷地找到直线所过的定点呢?, a b例例 1 平面直角坐标系中,直线恒过一定点xOy14233 120k xk yk ,而直线也过点,则 。P60mxyPm 解法解法 1:直线,1423340k xk yk 整理得, 4312230kxyxy令,解得,所以,43120 230xy xy 3 0x y 3,0P代入直线,得,答案:2.60mxy2m 解法解法 2:令,则;令,则;1 4k 0y 2 3k 3x 所以直线必过直线与直线的交点14233 120k xk yk 0y 3x ,显然,代入直线,得。3,03,0P60mxy2m 点评:点评:含有参数的直线过定点时,只需将含有参数的部分整理到一起,0AxByC不含参数的部分整理到一起,令系数均为 0 即可解方程得直线所过的定点。变式变式 1:(2014 四川)设,过定点的动直线和过定点的动直线mRA0xmyB交于点,则的取值范围是30mxym,P x yPAPBA. B. C. D. 5,2 5 10,2 5 10,4 52 5,4 5答案答案 B。例例 2 已知圆,则圆过定点 22:2410102001C xykxkykk C。解法解法 1:圆的方程可变形为,所以圆C22102024100xyykxy必过两曲线与的交点,C2210200xyy24100xy联立方程,解得,所以圆过定点。221020024100xyyxy1 3x y C1, 3答案为。1, 3解法解法 2:令,则,令,则,0k 2210200xyy5 2k 22550xyx圆所过的定点必是曲线与的交点;C2210200xyy22550xyx而联立方程,解得,所以圆过定点。222210200550xyyxyx1 3x y C1, 3点评:点评:直线与圆的定点问题要善于从运动中寻求不变的特性,挖掘曲线方程与哪些参数无关。常见的方法有两种:其一,直接按参数分离变量,进而解出定点坐标;其二,从特殊入手,求出定点,再证这个定点与参数取值无关。变式变式 2:若圆的圆心到直线的距离最大时,2228130xyxy10axy 则( )a A. B. C. D.1 331 33答案答案:A。二、定直线问题二、定直线问题定直线问题往往是动点所在的定直线、动圆的定切线,含有多个参数,其几何特征不明显,解决时常常不知从何入手,此时,须紧扣等量关系恒成立,应用待定系数法来处理。例例 3 平面直角坐标系中,已知半径为的的圆心在直线上,xOyrMAM23yx且在轴右侧,被轴轴截得的弦长为.yMAy3r(1)求的方程;MA(2)当变化时,是否存在定直线 与均相切?如果存在,求出定直线 的方程;rlMAl如果不存在,说明理由。解析:解析:(1)设,则的方程为,,230M aaaMA22223xayar设到轴的距离为,即,由被轴轴截得的弦长为,MyddaMAy3r所以,得,2223 2rdr2rda故的方程为。MA2 2232rxyrr (2)假设存在定直线 与均相切,定直线 的斜率不存在时,显然不合题意;lMAl设直线 的方程为,则对于恒成立,lykxb2321rkrb r k 0r 由,得21312krbr k,2 2221123302kkrkbrb因为上式对任意实数恒成立,所以,解得或r 2 22110223030kkkbb 03kb ,4 3 3kb 所以存在两条定直线和与动圆均相切。3y 4390xyMA点评:点评:本题动圆的圆心与半径都在变化,其几何特征不明显,故采取直接论证恒成立。解决含有多个参数的等量关系恒成立时,必须紧扣等式的成立与的取M ldrr值无关这一特点。变式变式 3:已知圆,直线 的方程222 1:23240Cxymmml,圆关于直线 对称的圆为。2yxm1Cl2C(1)证明:当变化时,的圆心在一条定直线上;m2C(2)求所表示的一系列圆的公切线方程。2C提示:提示:(1)关于直线 对称的点,在一条定直线12,32Cml221,1Cmm2C上.(2)设公切线方程为,则对210xy ykxb 22112 1kmmbm k 于恒成立,整理得,m22432 21110kmkkbmkb所以,解之得, 24302 211010kkkbkb 3 4 7 4kb 所以所表示的一系列圆的公切线方程为,即。2C37 44yx 3470xy三、定圆问题三、定圆问题动直线与定圆相切,是研究恒成立,或者联立方程恒成立,再按参数dr弦心距0 整理,令参数的系数为 0,得到方程组,最后解方程组求出圆心与半径。例例 4 已知点在上,纵坐标为,求证:直线恒与Py20t t 12,3QttPQ一个圆心在轴上的圆相切,并求出圆的方程。xMM解析:解析:由题意知,0,2Pt12,3Qtt所以直线的方程为,即,PQ122ttytx 221240txtyt设圆的方程为,则恒成立,M2220xayrr 222221414tat r tt 整理得,或,222141tatr t222411ttar t所以,或恒成立,240artar 240artar 故,或,解得,400arar 400arar 22ar 因此直线恒与一个圆心在轴上的圆相切,圆的方程为。PQxMM2224xy点评:点评:解答题解题步骤是:设圆的方程-化简或恒成立变量分离dr弦心距0 求圆心与半径写出定圆方程,如果是客观题,用特例法比较方便。变式变式 4:已知直线总与一个定圆相切,则该定圆方程2:21440lmxmym为 。答案答案 。22224xy综上,破解直线与圆中的“定” ,关键抓住“定”中蕴含着的与参数取值无关的恒成立思想,另外也可以特化参数值,巧妙地避开参数的干扰。
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