第一章 机械振动学基础,1.1 机械振动的运动学概念,机械振动是一种特殊形式的运动。在这种运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械振动是研究机械系统的某些物理量在某一数值附近随时间t变化的规律。可用函数表示为x=x(t);对于周期运动，表示为x(t)=x(t+nT)其中T为振动的周期，其倒数即为f=1/T,1.1 机械振动的运动学基本概念,1.简谐振动 位移和时间可以用时间表示：,角速度 称为简谐运动的角频率或圆频率，单位为rad/s，可表示为 它与频率f有关系式：,1-1,简谐振动的速度和加速度是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数：,在振动分析中。有时我们用旋转矢量来表示简谐振动，旋转矢量的模为振幅A，角速度为角频率 。若用复数来表示，则有：,（1-2）,（1-3）,这时，简谐振动的位移x可表示为：,简谐运动的速度和加速度表示为：,（1-4）,（1-5）,式（13）还可改为：,式中：,是一复数，称为复振幅。它包含振动的振幅两个信息。,（16）,2.周期振动 任何周期函数，只要满足条件 （1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在； （2）在一个周期内，只有有限个极大小值； 则可展开为Fourier级数的形式。,此时：,其中：,（1-7),对于特定的n，我们可得,式中：,于是，方程（1-7）又可表示为：,(1-8),3.简谐振动的合成 两个同频率振动的合成 有两个同频率的简谐振动,它们的合成运动为：,式中：,两个不同频率振动的全成 有两个不同频率的简谐振动,若,则合成运动为：,对于 ，这时有,合成运动可表示为：,式中：,1.2 构成机械振动系统的基本元素,构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阴碍物体运动的性质。,从能量角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。根据牛顿第二定律，有：质量的单位是KG。物体的质量是反映其惯性的基本元件，质量的大小是反映物体惯性的基本物理参数。,典型的恢复性元件是弹簧，该恢复性元件所产生的恢复力Fs是该元件位移x的函数，即：Fs Fs(x) 其作用方向与位移x的方向相反。当Fs(x)为线性函数时，即Fskx 比例常数K称为弹簧常数或刚度系数，单位为N/m。,阻尼力Fd反应阻尼的强弱，通常是速度的函数。当阻尼力Fd与速度成正比时，有：,这种阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼，比例常数c称为粘性阻尼系数，单位为N.s/m,质量，弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基本元件。质量大小、弹簧常数和阻尼系数是表示振动系统动特性的基本物理参数。,1.3 自由度和广义坐标,为了建立振动系统的数学模型，列出描述其运动的微分方程，必须确定系统的自由度数和描述系统运动的坐标。,物体运动时，受到各种条件的限制。这些限制条件称为约束条件。物体在这些约束条件下支边动时，用于确定其位置所需的独立坐标数就是该系统的自由度数。,一个质点在空间作自由运动，决定其位置需要三个独立的坐标，自由度数为3。而由n个相对位置可变的质点组成的质点系，其自由度数为3n。刚体运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，需要确定其沿直角坐标x,y,z的三个平动位移和绕x, y, z的三个转角，所以其自由度数为6。弹性体、塑性体和流体等变形连续体，由于由无限个质点所组成，其自由度数有无限多个。,当系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时的自由度数与约束数之差。对于n个质点组成的质点系，各质点的位移可用3n个直角坐标 来描述。当有r个约束条件，约束方程为：,为了确定各质点的位置，可选取N3n-r个独立的坐标：来代替3n个直角坐标。这种坐标叫做广义坐标。在广义坐标之间不存在约束条件，它们是独立的坐标。广义坐标必须能完整地描述系统的运动，其因次不一是长度。因为选取了个数为自由度数N的广义坐标，运动方程就能写成不包含约束条件的形式。,2.1 概述,单自由度系统的理论模型： 由理想的质量m、理想的弹簧k和理想的阻尼c三个基本元件组成的系统。如图2-1 系统的运动只沿一个方向，比如，x方向 若系统受到外力的作用，则外力也只沿这一方向,2-1 单自由度系统的理论模型,线性系统,从物理的观点看，一个系统受到一个外界激励（或输入） F1(t)时，可测得其响应（或输出）为x1(t) 。而受到激励F2(t)时，测得的响应为x2(t) 。它们可表示为,F1(t),F2(t),输入,输入,输出,输出,x1(t),x2(t),物理系统,如果受到的激励是F (t) =a1F1(t) +a2F2(t) ，对于线性系统，可以预测系统的响应将是x (t) =a1x1(t) +a2x2(t) ，a1和a2为任意常数。这一关系可表示为:a1F1(t) +a2F2(t) a1x1(t) +a2x2(t),叠加原理,几个激励函数共同作用产生的总响应是各个响应函数的总和。这一结果叫做叠加原理，是一个系统成为线性系统的必要条件 叠加原理有效，意味着一个激励的存在并不影响另一个激励的响应；线性系统内各个激励产生的响应是互不影响的 为了分析在多个激励作用下系统的总效果，可以先分析单个激励的效果，然后把它们加起来就得到各单个激励共同作用下的总效果,例如:单摆，运动方程为,这是一个非线性方程。可以证明，它不满足叠加原理，是一个非线性振动系统,如果运动是在平衡位置近旁的微幅运动，就可以用一个线性微分方程来近似地描述，进行分析和研究它的运动规律.,把sinq展开为Taylor级数，有,这时方程表示为:,线性系统是在一定条件下对非线性系统的近似。微幅运动则是线性化的重要前提。,2.2 无阻尼自由振动,当阻尼很小，对系统运动的影响甚微时，可略去阻尼，使c=0，系统就成为一个无阻尼单自由度系统 当系统未受到外力作用时，即F(t)=0，系统就成为一个自由振动系统 质量m和弹簧k是组成振动系统最基本的元件，是不可缺少的。否则就不会发生振动,图2-2 无阻尼自由振动的理论模型,图2-2所示为 单自由度无阻尼系统自由振动的理论模型 系统只在垂直方向振动 运动是微幅的,图2-2系统未受到扰动时，由静平衡条件得：,为弹簧静变形,若给予系统某种扰动，如，把弹簧向下压缩一个距离x，弹簧的恢复力就要增大kx 系统的静平衡状态遭到破坏，弹簧力与重力不再平衡，即存在着不平衡的弹簧恢复力 系统依靠这一恢复力维持自由振动,初始扰动（初始条件） 以扰动加于系统上的这一时刻作为时间计算的起点，即t=0 因此，加到系统上的扰动也叫做初始扰动，一般叫做加于系统上的初始条件 加于系统上的初始扰动可以是初始位移或初始速度,坐标的建立 取系统静平衡位置作为空间坐标的原点 以x表示质量块由静平衡位置算起的垂直位移，假定向下为正 在某一时刻t，系统的位移为x(t),由牛顿定律得：,从而有：,这就是：单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程。,令,运动方程可表示为：,方程的解x(t)必须在任何时间满足方程,函数x(t)必须使其二阶导数与函数本身的 wn2倍之和等于零，且与时间无关 因此，函数x(t)在微分过程中不改变其形式 指数函数满足这一要求,上式 elt不能满足要求 B=0是一个平凡解，不是我们所期望的 因此，方程的解决定于,上式叫做系统的特征方程或频率方程,它有一对共轭虚根：,叫做系统的特征值或固有值,方程的两个独立的特解分别为,B1和B2是任意常数,对于二阶常系数线性齐次方程，其通解为,D1和D2由t=0时施加于系统的初始条件来确定,根据t=0时的初始条件：,可以确定,因此：,式中：,图2-3 无阻尼自由振动响应,其中，A为振幅，y为初相角。线性系统自由振动振幅的大小只决定于： 施加给系统的初始条件 系统本身的固有频率,固有频率：,线性系统自由振动的频率只决定于系统本身的参数k和m，与初始条件无关，因而叫做系统的固有频率或无阻尼固有频率,2.3 有阻尼自由振动,在实际系统中总存在着阻尼，总是有能量的散逸，系统不可能持续作等幅的自由振动，而是随着时间的推移振幅将不断减小。这种自由振动叫做有阻尼自由振动。,常见阻尼 粘性阻尼 库仑阻尼（干摩擦阻尼） 结构阻尼,粘性阻尼自由振动应用牛顿第二定律或能量原理，可列出系统的运动方程,假定方程的解为,代入方程，得系统的特征方程或频率方程,方程的根为:,也称为方程的特征值或固有值,令:,则:,a称为衰减系数，可能有五种典型情况：a =0, a wn, a 0,当a wn时，特征值为两共轭复根:,其中:,称为有阻尼固有频率,方程的通解为：,(a),常数B1, B2由初始条件确定,利用欧拉公式:,方程的解可改写为:,式中:,设初始条件为：,t=0时有：,联立求解上列二式，得:,以上求得的是a n， 无论阻尼多大， b 0。在激励频率很高时，振幅趋于零。这意味着，质量不能跟上力的快速变化，将停留在平衡位置不动。由于振幅决于系统的惯性，所以称为“惯性区”。,当l 1时， n， b迅速增大，受迫振动振幅急剧增加，振幅X比静变位X0大很多倍，在无阻尼情况下（ =0），振幅为无穷大 通常把激励频率与系统固有频率n相等(l=1)的状态称为共振，l=1附近的区域称为“共振区”，在共振区内，阻尼的影响很大，阻尼越小，共振表现得越强烈，因此，共振区也称为“阻尼区”,实际上，有阻尼系统的最大振幅并不在=n时出现，由,因此，可得振幅为最大时的频率比,即：,