第7节 立体几何中的向量方法,考纲展示,1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).,3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何中的应用.,知识梳理自测,考点专项突破,解题规范夯实,知识梳理自测 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.直线的方向向量、平面的法向量都是唯一确定的吗? 提示:不是唯一确定,一条直线的方向向量有无数个,平面的法向量有无数个. 2.若空间向量a平行于平面,则a所在直线与平面平行吗? 提示:不一定,也可能在平面内,因为向量是自由向量,共线与平行是一种关系.向量所在的直线可以在平面内,这样的向量也是和平面平行的. 3.两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角吗? 提示:不一定,向量的夹角范围为0,而两直线的夹角为0, .,知识梳理,1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量.直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量,显然一条直线的方向向量有 个. (2)平面的法向量.如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作n,此时向量n叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有 个,且它们是 向量. 2.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面,的法向量分别为=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3). (1)线面平行 laa=0a1a2+b1b2+c1c2=0.,无数,无数,共线,(2)线面垂直 laa=ka1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行 v=va2=a3,b2=b3,c2=c3. (4)面面垂直 vv=0a2a3+b2b3+c2c3=0.,(3)求二面角的大小 若AB,CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是 的夹角(如图(1). 设n1,n2分别是二面角-l-的两个面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图(2)(3),其中图(2)中向量夹角的大小即为二面角平面角,图(3)中则为其补角).,(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求解.,双基自测,1.若平面的一个法向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(2,-1,0),则平面和平面的位置关系是( ) (A)平行 (B)相交但不垂直 (C)垂直 (D)重合,C,解析:由(1,2,0)(2,-1,0)=12+2(-1)+00=0,知两平面的法向量互相垂直,所以两平面互相垂直.,2.已知平面内有一个点M(1,-1,2),平面的一个法向量是n=(6,-3,6),则下列点P在平面内的是( ) (A)P(2,3,3) (B)P(-2,0,1) (C)P(-4,4,0) (D)P(3,-3,4),A,3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为( ),A,4.导学号 38486160 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( ),B,5.在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( ),C,第一课时 证明平行和垂直,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,利用空间向量证明平行问题,【例1】 导学号 18702396 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.求证: (1)CM平面PAD;,(2)平面PAB平面PAD.,反思归纳 利用向量法证明平行问题的三种方法 (1)证明线线平行:两条直线的方向向量平行. (2)证明线面平行: 该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. (3)证明面面平行:两个平面的法向量平行.,跟踪训练1:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点,求证:MN平面A1BD.,考点二,利用空间向量证明垂直问题,【例2】 导学号 18702397 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,AB AD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明: (1)AECD;,(2)PD平面ABE.,跟踪训练2:正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,证明:如图所示,取BC的中点O,连接AO. 因为ABC为正三角形,所以AOBC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.,考点三,利用空间向量解决与垂直、平行有关的探索问题,【例3】 导学号 38486162 (2016北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= . (1)求证:PD平面PAB;,(1)证明:因为平面PAD平面ABCD,ABAD, 所以AB平面PAD. 所以ABPD. 又因为PAPD,ABPA=A, 所以PD平面PAB.,(2)解:取AD的中点O,连接PO,CO. 因为PA=PD,所以POAD. 又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD, 所以PO平面ABCD. 因为CO平面ABCD,所以POCO. 因为AC=CD,所以COAD. 如图建立空间直角坐标系O-xyz. 由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).,(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;,(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.,反思归纳 立体几何开放性问题求解方法有以下两种 (1)根据条件做出判断,再进一步论证. (2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在.,备选例题,【例1】 如图所示,正方体ABCD-ABCD的棱长为1,E,F分别是BC,CD上的点,且BE=CF=a(0a1),则DE与BF的位置关系是( ) (A)平行 (B)垂直 (C)相交 (D)与a值有关,【例2】 如图所示,ABCD是边长为3的正方形,DE平面ABCD,AFDE,DE=3AF, BE与平面ABCD所成角为60. (1)求证:AC平面BDE;,(1)证明:因为DE平面ABCD,所以DEAC. 因为四边形ABCD是正方形,所以ACBD.又BDDE=D, 从而AC平面BDE.,(2)设点M是线段BD上一个动点,试确定M的位置,使得AM平面BEF,并证明你的结论.,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,审题指导,答题模板:第一步:找到直线DH与平面ABCD内的两直线垂直; 第二步:写出两直线相交得出DH平面ABCD; 第三步:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标; 第四步:求出二面角两半平面的法向量,求出两法向量夹角的余弦值; 第五步:得出二面角的正弦值.,谢谢观看！,