资金时间价值与利息计算,教学目的和要求：通过本节学习，掌握货币的时间价值、单利与复利、终值与现等概念及其运用。,本节内容： 货币时间价值、单利与复利、终值与现值 一 货币的时间价值二 单利和复利三* 年金,货币的时间价值,货币的时间价值含义 在日常生活中，你把100元存入银行一年，利率是5%,一年后，银行会给你105元，这5元就是利息，是银行付你的报酬，换句话说，今天的100元钱与一年后的105元等值。 在本金、利率相同的情况下，存款时间越长，利息就越多。同样，当你从银行借款时，你要向银行支付借款利息。企业若要发行债券，也要向债券持有者支付债券的利息。这里的银行借款利息和债券利息就是使用资金的成本。借用资金的时间越长，资金的成本就越高。,原因是：随着时间的推移，货币会增值。这就是货币的时间价值。注意：只有将货币作为资金使用才具有增值的功能。 货币的时间价值，是指在正常情况下，两个不同时点的同等数额的货币，其价值是不相等的。换言之，是指货币随着时间的推延而形成的增值。也就是说，今年的100元钱与去年的100元钱，其价值是不相等的，年初的100元等于年末的105元。这一随时间变化的差额就是货币的时间价值。 它有两种表示形式：绝对数形式（利息）和相对数形式（利息率）。,货币的时间价值含义,上例中用绝对数表示的就是5元，用相对数表示的就是5%，即这个差额与本金的比率： 5100=5%。 货币的时间价值往往指随着时间的推延，货币能够增值。但要，作为一般等价物的货币本身并不具备这种增值能力，只有在货币作为资金使用，并与劳动要素相结合的条件下，才能使价值增值。货币的时间价值指的便是这种增值现象。,单利和复利,一、 单利 单利-是只对本金计息。计算前，先将符号定义如下：P本金（现值）；i利率 ； F终值； I-利息；n 期数或年数；A 每年等额支付或收到的款项；则：I=P i n,【例1】某人将1000元存入银行，银行存款 年利率为10%，按单利计息，5年后的本利和：利息100010%5500（元）本利和=1000+500=1500（元）可以看出，若按单利计息，各计息期的本金和利息都是相同的。 二、复利复利是根据本金和前期利息之和计算的利息，也说是不仅要计算本金的利息，还要计算利息的利息。复利俗称“利滚利”。续前例：,第一年利息: I1=100010%=100（元） 第二年利息: I2=(1000+100)10%=110(元) 第三年利息: I3=(1000+100+110)10%=121(元) 第四年利息： I4=(1000+100+110+121)10%=133.1(元) 第五年利息： I5=(1000+100+110+121+133.1)10%=146.4(元),到期利息： I=100+110+121+133.1+146.4611(元）复利计算的利息比单利计息要多。,三、终值和现值,(一)终值 到期值或本利和，是指一定期间后本金与利息的和。 按计算方式不同：单利终值和复利终值。比较单利终值和复利终值计算，如果本金P，利率为i，见下表：,表4-1 单利终值与复利终值的计算,复利终值,复利终值是指按复利计息的一定时期的本利和。 计算公式：FP（1i）n 式中：P本金（现值） i利率 n计息期 F终值其中（1i）n被称为复利终值系数或1元的复利终值，用符号（F/P，i，n）表示。见附表1。,例2 如果你想存入1000元，将来收回2000元，当年利率为10%时，要存几年？ F= P(1+i) n ，即2000=1000(1+10%) n (1+10%)n=20001000=2 查复利终值系数表，10%这一栏，查得期限为7年时，终值系数为1.94872，期限为8年的终值系数为2.14359。说明存储期在7至8年之间，可使将来收到的本利和为2000元。可用图4-1表示如下：内插法的运用A B C(7，1.94872) (n，2) (8,，2.14359),应用等比公式，可求得n：同理，在已知本金（P）、终值（F）、期限（n）条件下，可求出预期的报酬率（i）。,(二)现值,现值指一定期间后，一定量的货币（终值）在现在的价值。 单利现值和复利现值 假定你想在将来得到一笔钱（终值），按一定的利率，现在一次应存入多少钱呢？按单利计算，公式如下： 单利现值公式：PF/1+ni 若按复利计算，则公式是：,复利现值：是指按复利计算的将来一定时期达到预定金额现在需要的投入数。 复利现值计算是复利终值计算的逆运算。从复利终值计算公式可知： P F/（1i）n F（1i） n 其中（1i） n被称为复利现值系数或1元的复利现值，用符号（P/F，i，n）表示。见附表2。复利现值系数与复利终值系数互为倒数。,【例3】企业打算存入银行一笔钱，5年后一次可取出本利和1000元，已知复利年利率为6%，计算现在一次需存入银行多少钱？ 根据题意：F1000 i6% n5 根据公式：P F（1i） n 1000 0.747747（元） 在P,F,i,n中，可已知其中三个，根据复利终值和现值系数表，用内插法求得另一个值。见教材例题3。 又上例，若年利率8%，现在存入747元，几年后可一次取出1000元？,i=6% （P/F，6%，5） =0.747 i= 8% （P/F，8%，n） =0.747 查表：n=5 （P/F，8%，5） =0.681n=3 （P/F，8%，3） =0.794 说明 3n5 (5-n) /(0.681-0.747) =(5-3)/(0.681-0.794)n3.832 即：需要3年10个月,(三)名义利率与实际利率的关系在以上讨论中，我们假定利率是年利率，并且每年按复利计息一次。但实际生活中，某些款项在1年内不止计息一次，有些抵押借款每月或每季计息一次，有些债券半年计息一次。 名义利率是指以1年为基础的利率。 当利息在一年内要复利几次时，给出的年利率称为名义利率。实际利率是真正有效的利率，随每年复利次数而变。 如果1年只计息一次，名义利率与实际利率相等。,如1年内复利m次，名义利率为r，则: 实际利率i的公式： i (1r/m)m 1 1+i= (1r/m)m 【例4】名义利率为6，本金1000元，每半年复利一次，5年后本利和是多少？ 实际利率i (16%2)2 16.09% 第一种方法： F1000(16%2)101000(13%)101344 第二种方法： F1000(16.09%)51344 答：5年以后本利和1344元。,年金*,1、年金概念 年金是指在一定时期内，每隔相同时期收入或支出相当金额的款项 2、年金特点 （1）间隔相等。在一定时期内每隔一段时间就发生一次收款或付款业务。 （2）金额相等。各期发生的款项在数额上相等。在现实经济生活中，分期等额形成或发生的各种偿债基金、折旧费、养老金、保险金、租金、等额分期收付款、零存整取、整存零取、债券利息、优先股股息、以及等额收回的投资额等，多属于年金的范畴。,3、年金分类： 年金按收付的时间不同具体划分为：普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。 (1)普通年金-凡收入或支出发生在每期期末的年金。 (2)预付年金-凡收入或支出发生在每期期初的年金。 (3)递延年金-凡收入或支出发生在第一期以后某一时间的年金。 (4)永续年金-凡无限期收入或支出的年金。,一、普通年金 普通年金是指收入或支出发生在每期期末的年金，又叫后付年金，用A表示。 1、普通年金终值计算 普通年金终值简称年金终值，记作FA 。 普通年金终值是将每期的金额按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，即复利终值之和，就是该年金终值。计算公式： FA A（1i）n1i 其中（1i）n1/i被称为年金终值系数或一元的年金终值，用符号（FA/A，i，n）表示，附表3为年金终值系数表。,普通年金是后付年金，最后一期不计息，因此，计息期为总期数减1。 设某企业于每年年底在银行存款1元，连续存4年，按年利率i计息，则第4年末该项年金的终值可图4-2所示：0 1 2 3 41 （1+i） （1+i)2 （1+i)31 （1+i） （1+i)21 （1+i） 1 终值计算如下：（FA/A,4,i）=1+（1+i）+（1+i）2 +（1+i）3 (1),将（1）式两边均乘（1+i），得： （FA/A，4，i）（1+i） =（1+i）+（1+i）2 +（1+i）3 +（1+i）4 (2) （2）式减（1）式，得： (F/A,4,i)（1+i）-(F/A,4,i) =（1+i）4 -1 (F/A,4,i)（1+i-1）=（1+i）4 -1,即1元的普通年金终值系数。表示利率为i时，1元普通年金在n期后的终值。,【例5】企业连续每年末存款1000元，按10%的复利计息，第10年末可以一次取出本利和为多少？ 根据题意：年金A1000 期数n10 利率i10% 则：FAA （1i）n1/iA（FA/A，10%，10）100015.93715937（元）,2、年偿债基金的计算 年偿债基金又叫积累基金，是指已知年金终值FA ，求年金A的过程，它是年金终值的逆运算，亦属于已知整取求零存的问题。根据年金终值公式可知： A FA （1i）n1/i FA （FA/A，i，n）该系数可用年金终值系数的倒数求出来。,【例6】企业准备在10年内每年末存入银行一笔钱，以便在第10年末归还一笔到期100万元的债务。如果存款的年利率为10%，请问每年末至少应存入银行多少资金？ 据题意：FA100万元 i10% n10 则年金:AFA （1i）n1/i FA （FA/A，10%，10）10015.9376.275万元 答：每年末至少存入银行6.275万元。,3、普通年金现值计算 普通年金现值简称年金现值，记作PA 。普通年金现值是指每期后收（付）等额款项复利现值之和，计算公式： PA A 1（1i）ni其中1（1i）n/i 被称为年金现值系数或一元的年金现值，用符号（PA/A ，i，n）表示，附表4为年金现值系数表。,【例7】企业准备连续10年在每年末取出1000元，按10%的复利计息，问现在一次需支付的款项为多少？ 根据题意：A1000 n10 i10% 则:PA A1（1i）n/iA（PA/A ，10%，10）10006.1456145（元） 答：现在一次需支付6145元。,4、年回收额的计算 年回收额的计算是年金现值计算的逆运算，即已知年金现值PA，求年金A，也就是已知整存求零取的问题。根据年金现值公式可知： A PA 1（1i）n/i PA （PA/A ，i，n）该系数可用年金现值系数倒数求出来。,【例8】企业准备投资100万元，该项目预计有效年限为10年，若企业期望的报酬率为10%，计算企业至少每年末要从该项目中获得多少报酬才合算？ 据题意：PA 100万元 i10% n10 则年金A PA 1（1i）n/i PA （PA/A ，10%，10）1006.14516.274 答：企业每年末应获得16.274万元才合算。,