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过已知点A、B作圆,可以作无数个圆,圆心在线段AB的垂直平分线上,各圆心的分布有什么特点? 与线段AB有什么关系?,新课导入,大胆猜想,A,B,什么是轴对称图形? 我们学过哪些轴对称图形?,如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形,回 顾,线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形,正方形,圆,圆也是轴对称图形吗?,动画沿着圆的任意一条直径对折,圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,圆有哪些对称轴?,O,O,A,B,C,D,E,是轴对称图形,大胆猜想,已知:在O中,CD是直径, AB是弦, CDAB,垂足为E,下图是轴对称图形吗?,叠合法,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,垂径定理,CD是直径,AB是弦, CDAB,直径过圆心 垂直于弦,平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧,垂径定理,将题设与结论调换过来,还成立吗?,这五条进行排列组合,会出现多少个命题?, 直径过圆心 平分弦, 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1,一个圆的任意两条直径总是互相平分,但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径,结论不一定成立,O,A,B,M,N,C,D,注意,为什么强调这里的弦不是直径?, 直径过圆心 平分弦所对优弧, 平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,垂径定理的推论1,(2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧, 直径过圆心 平分弦所对的劣弧, 平分弦 平分弦所对优弧 垂直于弦,垂径定理的推论1,(2)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧, 垂直于弦 平分弦, 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,(3)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1, 垂直于弦 平分弦所对优弧, 直径过圆心 平分弦 平分弦所对的劣弧,推论1的其他命题, 垂直于弦 平分弦所对的劣弧, 直径过圆心 平分弦 平分弦所对优弧,(4)垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧, 平分弦 平分弦所对优弧, 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,(5)平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧 , 平分弦 平分弦所对的劣弧, 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对优弧, 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧, 直径过圆心 垂直于弦 平分弦,(6)平分弦所对的两条弧的直径过圆心,并且垂直平分弦,垂径定理的推论2,圆的两条平行弦所夹的弧相等,M,O,A,B,N,C,D,证明:作直径MN垂直于弦AB, ABCD 直径MN也垂直于弦CD,两条弦在圆心的同侧,两条弦在圆心的两侧,垂径定理的推论2有这两种情况:,C,D,A,B,E,作法:,1 连结AB,小练习,A,B,C,D,E,作法:,1 连结AB,3 连结AC,5 点G同理,A,B,C,作AC的垂直平分线,作BC的垂直平分线,这种方法对吗?,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线,C,A,B,O,作法:,1 连结AB,3 作AC、BC的垂直平分线,4 三条垂直平分线交于一点O,你能破镜重圆吗?,A,B,C,m,n,O,作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n,交于O点;以O为圆心,OA为半径作圆,作法:,依据:,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧,垂径定理三角形,d + h = r,r,有哪些等量关系?,在a,d,r,h中,已知其中任意两个量,可以求出其它两个量,你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,赵州桥主桥拱的半径是多少?,垂径定理的应用,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为垂足,OC与AB 相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C是 的中点,CD 就是拱高,解:,AB=37.4,CD=7.2,,OD=OCCD=R7.2,解得 R27.9(m),在RtOAD中,由勾股定理,得,即 R2=18.72+(R7.2)2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m,OA2=AD2+OD2,课堂小结,1 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,2 垂径定理,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦,3垂径定理的推论,经常是过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件,4 解决有关弦的问题,1 判断:(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两弧 ( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧 ( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦 ( ) (4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行 ( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 ( ),随堂练习,2 在O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求O的半径,O,A,B,E,解:,答:O的半径为5cm,3 在O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,ODAB于D,OEAC于E, 求证:四边形ADOE是正方形,证明:,四边形ADOE为矩形,,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形,4 在直径是20cm的O中, 的度数是60,那么弦AB的弦心距是_,cm,5 弓形的弦长为6cm,弓形的高为2cm,则这弓形所在的圆的半径为_,cm,6 已知P为O内一点,且OP2cm,如果O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_,cm,7 一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m求这段弯路的半径,解:连接OC,8 已知在O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求O的半径,解:连结OA过O作OEAB,垂足为E, 则OE3cm,AEBEAB8cm AE4cm 在RtAOE中,根据勾股定理有OA5cm O的半径为5cm,A,E,B,O,9 在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点求证:ACBD,证明:过O作OEAB,垂足为E,则AEBE,CEDEAECEBEDE所以,ACBD,E,
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