二次根式二次根式1二次根式的概念(1)一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式a(2)对于(a0)的讨论应注意下面的问题：a二次根号“”的根指数是 2，二次根号下的 a 叫被开方数，被开方数可以是数字， 也可以是整式、分式等 式子只有在条件 a0 时才叫二次根式即 a0 是为二次根式的前提条件式aa子就不是二次根式，但式子是二次根式2(2)2(a0)实际上就是非负数 a 的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的a结果 是二次根式，虽然2，但 2 不是二次根式因此二次根式指的是某种式子的44“外在形态” 二次根式有两个要素：一是含有二次根号“” ；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义【例 11】当 a 为实数时，下列各式中哪些是二次根式？ ，.a10|a|a2a21a21(a1)2分析：分析：因为 a 为实数，而|a|0，a20，a210，(a1)20，所以，|a|，是二次根式a2a21(a1)2因为 a 是实数时，并不能保证 a10，a21 是非负数，即 a10，a21 可能是负数如当 a10 时，a100；又如当 0a1 时，a210，因此，不a10a21是二次根式解：解：，是二次根式|a|a2a21(a1)2【例 12】x 是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？x3分析：分析：问题实质上是问当 x 是怎样的实数时，x3 是非负数，式子有意义x3解：解：由二次根式的定义可知被开方式 x30，即 x3，就是说当 x3 时，式子在实数范围内有意义x32二次根式的性质(1)(a0)是一个非负数a(a0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a0(a0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性a【例 21】若(b2)20，则 ab的值是_a3解析：解析：由题意可知0，(b2)20，a3所以 a30，b20，则 a3，b2.所以 ab(3)29.答案：答案：9 (2)()2a(a0)a由于(a0)是一个非负数，表示非负数 a 的算术平方根，因此通过算术平方根的定a义，将非负数 a 的算术平方根平方，就等于它本身，即()2a(a0)a【例 22】化简：()2_；23()2(x3)_.x3解析：解析：直接利用公式()2a(a0)，可得()2 ；因为 x3，所以 x30，a2323所以由公式()2a(a0)，可得()2x3(x3)ax3答案：答案： x323(3)|a|Error!a2由算术平方根的定义，可得|a|Error!a2a(a0)表示非负数 a 的平方的算术平方根等于 a.a2【例 23】计算： (1)；(1.5)2(2)(a3)；(a3)2(3)(x )(2x3)232 解析：解析：错解正解(1)1.5；(1.5)2(2)a3；(a3)2(3)2x3.(2x3)2(1)|1.5|1.5；(1.5)2(2)|a3|3a(a3)；(a3)2(3)|2x3|32x(x )(2x3)232错因剖析：本题对性质()2a(a0)a与|a|应用混淆，需特a2别注意被开方数是非负数时，a(a0).a2思路分析：根据|a|，首先去掉根号，然后利a2用绝对值的定义求解.(1)()2a 的前提条件是 a0；而|a|中的 a为一切实数aa2(2)(a0)，|a|，a2是三个重要的非负数，即(a0)0，|a|0，a20，在解题时aa应用较多(3)()2成立的条件是 a0，否则不成立a2a(4)()2a(a0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形a式(5)在利用进行化简时，要先得出|a|，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清a2被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方3求二次根式中被开方数字母的取值范围 由二次根式的意义可知，a 的取值范围是：a0.即当 a0 时，有意义，是二次根式；a当 a0 时，无意义，不是二次根式a(1)确定形如的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子有意义或无意aa义的条件，列出不等式，然后解不等式即可 (2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义(a0)得被开方数必须是a非负数，即把问题转化为解不等式【例 3】当字母取何值时，下列各式为二次根式(1)； (2)；a2b23x(3)； (4).12x32x分析：分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为 0，根据这些要求列不等式解答即可解：解：(1)因为 a，b 为任意实数时，都有 a2b20，所以当 a，b 为任意实数时，是二次根式a2b2(2)3x0，x0，即当 x0 时，是二次根式3x(3)0，且 x0，所以 x0.12x当 x0 时，是二次根式12x(4)0，故 x20 且 x20，所以 x2.32x当 x2 时，是二次根式32x4二次根式非负性的应用 (1)在实数范围内，我们知道式子(a0)表示非负数 a 的算术平方根，它具有双重非a负性：0；a0.a运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于 0，则 这几个非负数都等于 0”可以解决一些算术平方根问题 巧记要点：巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数 (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式： |a|0；a20；0(a0)a【例 41】已知 x，y 都是实数，且满足 y3，求 xy 的值5xx5分析：分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于 x 的不等式组解：解：由题意知Error!Error!x5.当 x5 时，y33.5555xy538.两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个式子才能都有意义【例 42】已知 x，y 为实数，且 y ，则 xy_.128x118x解析：解析：因为 y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数实际上，若和都有意义，则 a0.即依题意得Error!aa解得 x ，于是 y 00 .故 xy14.181212 答案：答案：14, 5式子()2的意义和运用a二次根式的一个性质是：()2a(a0)a因为 2()2， ()2，所以上面的 性质又可以写成：a()2(a0)可见，利用23535a这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式二次根式中的 2表示 2，这与带分数 2 表示 2 是不一样的，因此，331212以后遇到 应写成，而不能写成 1.32332 312 3【例 51】计算：(1)(2)2；(2)(2)2；(3)()2.3125 3解：解：(1)(2)222()212.33(2)(2)2(2)2()22.1212(3)()2(1)2()215.5 35 3【例 52】把多项式 n56n39n 在实数范围内分解因式 分析：分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式 n56n39n 提取公因式，得n(n46n29)，再利用完全平方公式分解，得 n(n23)2，要求在实数范围内分解，所以可以将 3 写成()2，再运用平方差公式进行因式分解3解：解：n56n39nn(n46n29)n(n23)2n(n)2(n)2.336二次根式与相反数和绝对值的综合应用 (1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把 这几者结合出题 (2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a|0，0(b0)，c20.非负b数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零 即：|a|0a0，b0；b|a|c20a0，c0； c20b0，c0；b|a|c20a0，bb0，c0. 【例 61】若|ab1|与互为相反数，则(ab)2 011_.a2b4解析：解析：|ab1|与互为相反数，a2b4|ab1|0.a2b4而|ab1|0，0，a2b4Error!Error! (ab)2 011(21)2 011(3)2 01132 011.答案：答案：32 011 【例 62】若 a24a4，求的值b2ab分析：分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a2)20，b2由二次根式的性质可知0，由完全平方数的意义可知(a2)20，而它们的和为零，b2则 a20，b20，从而可求出 a，b 的值解：解：由 a24a4，得 a24a40，即(a2)20.b2b2b2(a2)20，0 且(a2)20，b2b2a20，b20，解得 a2，b2.2，即的值为 2.abab7二次根式()2a(a0)与|a|的区别、运用aa2()2a(a0)与|a|是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式aa2化简、运算的重要依据 (1)正确理解()2与的意义aa2学习了二次根式的定义以后，我们知道0(a0)，即是一个非负数，是非负数aaaa 的算术平方根，那么()2就是非负数 a 的算术平方根的平方，但只有当 a0 时，才能aa有意义对于，则表示 a2的算术平方根，由于中的被开方数是一个完全平方式，所a2a2以 a 无论取什么值，a2总是非负数，即总是有意义的a2(2)()2与的区别和联系aa2区别：表示的意义不同()2表示非负实数 a 的算术平方根的平方；表示实数aa2a 的平方的算术平方根 运算的顺序不同()2是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a则是先求实数 a 的平方，再求 a2的算术平方根a2取值范围不同在()2中，a 只能取非负实数，即 a0；而在中，a 可以取一切aa2实数 写法不同在()2中，幂指数 2 在根号的外面；而在中，幂指数 2 在根号的里aa2面 结果不同()2a(a0)，而Error!aa2联系：在运算时，都有平方和开平方的运算 两式运算的结果都是非负数，即()20，0.aa2仅当 a0 时，有()2.aa2如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论_ _ _ _