资源预览内容
第1页 / 共18页
第2页 / 共18页
第3页 / 共18页
第4页 / 共18页
第5页 / 共18页
第6页 / 共18页
第7页 / 共18页
第8页 / 共18页
第9页 / 共18页
第10页 / 共18页
亲,该文档总共18页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
5.4 极限环和平面图貌,5.4.1 极限环,例 一阶非线性驻定方程组,取极坐标,方程组有两个特解,沿圆,沿圆,设 是系统,的一个极限环,如果存在着 的一个 邻域,,使从此邻域内出发的其它解均正向,趋近于 ,则称 为稳定的极限环。,如果其它解均负向 趋近于 ,,则称 为不稳定的极限环。,如果从 的 邻域出发的其它轨线在 的,一侧正向趋近于 ,另一侧负向趋近于 ,,则称此 为半稳定的极限环。,定理5.4.1 Poincare-Bendixson环域定理,设区域 是由两条简单闭曲线 围成的,环形域并且满足下面条件:,(1) 及其边界 上不含奇点;,(2)从G的边界 上各点出发的轨线都不能,离开(或进入) ;,(3) 均不是闭曲线.,则在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内,稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭,轨),如果闭轨是惟一的,则它一定是一条稳定的,(不稳定的)极限环。,定理5.4.2 设系统,的右端函数 , 在某个单连域 内,连续可微,并且,在 内不变号,且在 的任何子域内不恒为零,,则方程组,在 内不存在任何闭轨线。,定理5.4.3 对于方程组,若在某个单连域 内存在一个连续可微函数,使得,不变号。且在 的任何子域中不恒为零,,则方程组不存在全部位于 内的闭轨线。,定理5.4.4 如果沿着系统,的极限环 有,则 是稳定(不稳定)的.其中 是 的周期。,定理5.4.5 给定微分方程,其等价方程组为:,其中,(2) ;,(3) 在 内分别单调不减,,则上述方程组至多存在一个极限环,若存在它,必定为稳定的。,例1 证明平面二次系统,(1),当 时无闭轨线。,证明 由系统的第一个方程得到,故轨线与直线 相交时只能从它的一侧向,另一侧,因此系统若有闭轨线.它只能位于直线,的一侧,在这一侧取Dulac函数,容易算出,当 时它是常号且当仅且当 时为,零,当 不是系统的轨线。,所以由定理5.4.3知:,系统(1)当 时不存在闭轨。,例2 用定理5.4.4的结论判定非线性方程组,引入极坐标,后产生的极限环 及 的稳定性。,解 由 可以算出,对 有,故由定理5.4.4知 是不稳定的。,对 有,故由定理5.4.4知 是稳定的 。,5.4.2 平面图貌,垂直等倾线,水平等倾线,交点为奇点,两曲线划分区域内的,为,例 考虑两种群的Volterra模型:,(1),竞争模型,(2),捕食者-食饵模型,(3),共存模型,垂直等倾线,水平等倾线,X种群趋于定量,y种群趋于灭绝,y种群趋于定量,x种群趋于灭绝,X,y 种群或以一定量共存,或有一灭绝,X种群和y种群以一定量共存,E,
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号