第三章 导数的应用,第四节 曲线的凹凸性与拐点及函数图形的描绘,在讨论函数图形的时候，仅仅知道函数的单调性是不够的，如图：,学习要求 能熟练地求出函数的水平渐近线和铅垂渐近线 熟练掌握判断函数的凹向与拐点的方法 了解函数图形描绘的步骤,一、曲线凹向的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形位于任意点切线的下方,图形位于任意点切线的上方,定义1：如果在某区间内，曲线弧总位于其上任一点切线的上（下）方，则称曲线在该区间内是上（下）凹的。,二、曲线凹向的判定,定理1,例1,解,注意到,三、曲线的拐点及其求法,1、定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2、求拐点的步骤,例2,解,上凹,下凹,上凹,拐点,拐点,例3,解,四、渐近线,定义:,1.铅垂渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,例4,解,二、图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形., 确定函数的定义域和值域；, 讨论函数的奇偶性（对称性）、周期性；, 讨论函数的增减性和极值；, 讨论函数的凹向与拐点；, 确定曲线的渐近线；, 求出曲线的一些特殊点（例如曲线与x轴、y轴的交点等）；, 作出函数的图形。,三、作图举例,例5,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹向区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,例6,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,极小值,小结,曲线的弯曲方向凹向;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法,渐近线的求法,铅垂渐近线、水平渐近线,单减,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,上凹,下凹,单增,思考题,思考题解答,例,思考题,思考题解答,练 习 题,作业,书本P110 习题3-4 1.1） 2）还要判断单调性,