智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版1知识内容1函数的平均变化率： 一般地，已知函数，是其定义域内不同的两点，记，( )yf x0x1x10xxx ，10yyy 10()()f xf x00()()f xxf x 则当时，商称作函数在区间（或）0x 00()()f xxf xy xx ( )yf x00,xxx 00,xx x 的平均变化率 注：这里，可为正值，也可为负值但，可以为xy0x y02函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变( )yf x0x0xxx 00()()yf xxf x 如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数 （也就是说平均变化x000()()f xxf xy xx l率与某个常数 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数） ，那么常数 称为函数在点ll( )f x 的瞬时变化率0x“当趋近于零时，趋近于常数 ”可以用符号“”记作：x00()()f xxf x x l“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近0x 00()()f xxf xlx 000()()lim xf xxf xlx 于” 函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作0x( )f x0xx0()fx这时又称在处是可导的于是上述变化过程，可以记作( )f x0xx“当时，”或“”0x 00 0()()()f xxf xfxx 00 00()()lim() xf xxf xfxx 3可导与导函数： 如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导这样，对开区间( )f x( ,)a b( )f x( ,)a b内每个值，都对应一个确定的导数于是，在区间内，构成一个新的函( ,)a bx( )fx( ,)a b( )fx数，我们把这个函数称为函数的导函数记为或（或） ( )yf x( )fxyxy 导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数4导数的几何意义： 设函数的图象如图所示为过点与( )yf xAB00(,()A xf x 的一条割线由此割线的斜率是00(,()B xxf xx ，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变00()()f xxf xy xx 板块一.导数的概念与几何意义x0xyxODCBA智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版2化率当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线BAABAAD叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率ADA000()()lim xf xxf x x AD由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于( )yf x00(,()xf x0()fx典例分析 题型一：极限与导数【例 1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为，则的取值范围是（ ） A B C D(0180 )，(060 )，(6090 )，(60180 )，【例 2】在正棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）nA B C D2 n n ，1 n n ，02，21nn nn ，【例 3】对于任意都有（ ）02，A Bsin(sin )coscos(cos )sin(sin )coscos(cos )C Dsin(cos )coscos(sin )sin(sin )coscos(sin )【例 4】若，则_ 0( )lim1 xf x x 0(2 )lim xfx x【例 5】若，则_ 1(1)lim11xf x x1(22 )lim1xfx x【例 6】设在可导，则等于（ ）( )f x0x0003lim xf xxf xxx A B C D 02fx 0fx 03fx 04fx【例 7】若，则等于（ ）000(2)()lim13xf xxf x x 0()fxA B C D2 33 232【例 8】设在处可导，为非零常数，则（ ） ( )f xxa b， 0()()lim xf xa xf xb x x A B C D( )fx()( )ab fx()( )ab fx( )fx【例 9】设，则（ ）(3)4f 0(3)(3)lim2hfhf hABCD1231【例 10】若，则当无限趋近于时，_( )2fah0()( ) 2f ahf a h【例 11】已知函数，则的值为 2( )8f xxx 0(12)(1)lim xfxf x 智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版3【例 12】已知，则的值是（ ）1( )f xx 0(2)(2)lim xfxf x A B C D1 421 42【例 13】若，则_2(1)(1)2f xfxx(1)f 【例 14】已知函数在处可导，则（ ）( )f x0xx22 000 () ()lim xf xxf x x A B C D0()fx0()f x2 0()fx002() ()fxf x【例 15】计算_32lim43nn n【例 16】_222lim23nnn n【例 17】将直线、（，）轴、轴围成的封闭图形的面2:0lnxyn3:0lxnyn*nN2nxy积记为，则 nSlimnnS 【例 18】（ ）2111lim 1333nnABCD不存在5 33 22【例 19】如图，在半径为的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接r 正六边形，如此无限继续下去设为前个圆的面积之和，则（ ）nSnlimnnS rOA B C D22r283r24r26r【例 20】_22112lim3243xxxxx【例 21】若，则常数_1lim1()nnnana 【例 22】_ ()coslimxxxx【例 23】_2123lim nn n智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版4【例 24】_ 012lim(2)xxx x【例 25】_211lim34xx xx【例 26】（ ）2241lim42xxxABCD11 41 41【例 27】 1lim1xx xx x【例 28】设函数，其中，已知对一切12( )sinsin2sinnf xaxaxanx12naaanRN，有和，求证：xR( )sinf xx 0sinlim1 xx x1221naana【例 29】如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则( )f xABCA B C，(0 4) (2 0) (6 4)，；函数在处的导数 ( (0)f f( )f x1x (1)f 1234654321BCAOyx【例 30】如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，( )f xABCABC，04，20，则 ； （用数字作答）64，( (0)f f 0(1)(1)lim xfxf x 1234654321BCAOyx【例 31】下列哪个图象表示的函数在点处是可导的（ ）1x D.C.B.A.xyO1xyO1xyO11Oyx【例 32】函数在闭区间内的平均变化率为（ ）2( )21f xx1 1x ， A B C D12 x 2x 32 x 42 x 智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版5【例 33】求函数在到之间的平均变化率21yx0x0xx 【例 34】若函数，则当时，函数的瞬时变化率为（ ）2( )f xx1x A1 B C2 D12【例 35】求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数2( )f xxx 1x 1x 【例 36】求函数在附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数3( )2f xxx1x 1x 【例 37】已知某物体的运动方程是，则当s 时的瞬时速度是_3199stt3t 【例 38】已知某物体的运动方程是，则时的瞬时速度是_2 2232tstt3t 【例 39】已知物体的运动方程是，则物体在时刻时的速度_，加速度 23stt4t v a 【例 40】物体运动方程为，则时瞬时速度为（ ）4134st2t A2B4C6D8【例 41】一质点做直线运动，由始点起经过 s 后的距离为，t43214164sttt则速度为零的时刻是（ ） A4s 末 B8s 末 C0s 与 8s 末 D0s，4s，8s 末【例 42】如果某物体做运动方程为的直线运动（ 的单位为 m， 的单位为 s） ，那么其在22(1)stst s 末的瞬时速度为（ ）1.2 Am/s Bm/s Cm/s Dm/s0.880.884.84.8【例 43】求在处的导数yx0xx题型二：导数的几何意义【例 44】已知曲线上一点，用斜率定义求：1yxx522A， 过点的切线的斜率； 过点的切线方程AA【例 45】已知曲线上一点，用斜率定义求：1yxx(1 2)A ，过点 A 的切线的斜率；过点 A 的切线方程智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.学生版6【例 46】函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）( )f xOyx321A B0(2)(3)(3)(2)ffff0(3)(3)(2)(2)ffffC D0(3)(2)(3)(2)ffff0(3)(2)(2)(3)ffff【例 47】求函数的图象上过点的切线方程( )af xaxx(0)a A2(1)a a ，【例 48】曲线在点处的切线方程是（ ）321yxx( 11)P ，ABCD1yx2yxy