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专题达标检测 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.方程 在x-1,1上有实根,则m 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 解析 又当 时,m最小为,D,2.若全集U=(0,+),集合A=x|logx 1时,由 得 所以x1,所以 所以 UA=,D,3.已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,构造函数 F(x),定义如下:当f(x)g(x)时,F(x) =g(x);当f(x)g(x)时,F(x)=f(x).那 么F(x) ( )A.有最大值3,最小值-1 B.有最大值 无最小值 C.有最大值3,无最小值 D.无最大值,也无最小值 解析 画图得到F(x)的图象:为射线AC、抛物线 弧AB及射线BD三段,联立方程组,代入得F(x)最大值为 由图可得F(x)无最 小值,从而选B. 答案 B,4. 若关于x的不等式(1+k2)xk4+4的解集是M,则 对任意实常数k,总有 ( ) A.2M,0M B.2 M,0M C.2M,0 M D.2M,0M 解析,2M,0M.,A,5.(2009广东理,8)已知甲、乙两车由同一起点 同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶, 甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所 示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定 正确的是 ( ) A.在t1时刻,甲车在乙车前面 B.t1时刻后,甲车在乙车后面 C.在t0时刻,两车的位置相同 D.t0时刻后,乙车在甲车前面,解析 由图象及定积分知识可知,速度图象与x轴 围成的面积表示汽车行驶的位移,在t0时刻,甲 车的位移大于乙车的位移,故在t0时刻甲车应 在乙车的前面,且t0时刻两车速度相同,故C、 D不对,t1时刻甲车的位移大于乙车的位移,故A对. 6.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至 少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是( )A.(0,1) B.(0,1 C.(-,1) D.(-,1,答案 A,D,7.过抛物线y2=4ax (a0)的焦点F作相互垂直的两条 弦AB和CD,则|AB|+|CD|的最小值为 ( ) A.16a B. C.8a D.7a 解析 F(a,0),设AB的斜率为k. k2x2-(2ak2+4a)x+a2k2=0.,同理|CD|=4ak2+2a+2a.,A,8.实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1,另 一个根大于1且小于2,则|a-2b-3|的取值范围是 ( )A.(4,6) B.(4,7) C.(4,8) D.(4,9) 解析 根据函数零点的存在定理,设f(x)=x2+ax+2b, 则,此时,问题转化为线,性规划问题.,如图,易得满足此不等式组的点 (a,b)在ABC的内部,其中A(-3, 1), C(-1,0),B(-2,0),而 |a-2b-3| 由于 表示点(a,b)到直线l:a-2b-3=0的距离,由图象 可知A点、C点到l的距离分别为最远和最近,即,得4|a-2b-3|8,,故|a-2b-3|的取值范围为(4,8).,答案 C,9.在各项都是正数的等比数列an中,首项a1=2,前 三项和为14,则a4+a5+a6的值为 ( )A.52 B.56 C.112 D.378 解析 设公比为q(q0),由a1=2,a1+a2+a3=14,得 2(1+q+q2)=14,解得q=2,所以a4+a5+a6=112.,C,10.命题甲: 成等比数列,命题乙:lg x, lg(x+1),lg(x+3)成等差数列,则甲是乙的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 本题考查数列的性质以及充分必要条件的 概念.若甲成等比数列,有 解之得x=1或x=-2,满足条件的x的集 合为-2,1,若乙成等差数列有2lg(x+1)=lgx+ lg(x+3),且x0 (x+1)2=x(x+3),得 x=1,则满足乙的x的集合为1,因1,-2 1,所以甲是乙的必要不充分条件.,B,11.设函数f(x)=x3+sin x,若 时,f(mcos +f(1-m)0恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(0,1) B.(-,0) C.(-,1) D. 解析 易知f(x)为奇函数、增函数,f(mcos )+f(1- m)0,即f(mcos )f(m-1), mcos m-1,而 时,cos0,1,C,12.定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两 个x1、x2(x1x2)均有|f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|成 立,则称函数f(x)在定义域上满足利普希茨条件. 若函数f(x)= (x1)满足利普希茨条件,则常数 k的最小值为 ( ) A. B. C.1 D.2 解析,因,所以,B,二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.对任意实数x、y,规定运算xy=ax+by+cxy,其中 a、b、c是常数,等式右边的运算是通常的加法 和乘法运算,已知12=3,23=4,并且有一个 非零常数m,使得对任意实数x,都有xm=x,则 m= . 解析 依题意,xm=ax+bm+cxm=x对任意实数x恒 成立, 令x=0,则mb=0,由m是非零常数得b=0. 故xy=ax+cxy. 由已知得 解得a=5,c=-1. 故5x-mx=x对任意实数x恒成立,则m=4.,4,14.若不等式x2+px4x+p-3对一切0p4均成立,则 实数x的取值范围为 . 解析 x2+px4x+p-3, (x-1)p+x2-4x+30. 令g(p)=(x-1)p+x2-4x+3,则要使它对0p4均有 g(p)0,只要有 x3或x-1.,x3或x-1,15.定义运算符号“”,这个符号表示若干个数相 乘,例如:可将123n记作 (nN*). 记 其中ai为数列an(nN*)中的第i项. (1)若an=2n-1,则T4= . (2)若Tn=n2(nN*),则an=,105,.,16.若方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)只有一个根,则 a的取值范围是 解析 原方程等价于 ,.,构造函数y=-x2+5x-3(1x3)和y=a,作出它们的图 象,易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况为:当1a3或 时,原方程有一解; 当 时,原方程有两解; 当a1或 时,原方程无解. 因此,a的取值范围是1a3或,答案 1a3或,三、解答题(本大题共6小题,共74分) 17.(12分)求函数f(x)=2-4asin x-cos 2x的最大值 和最小值. 解 y=f(x)=2-4asin x-(1-2sin2x) =2sin2x-4asin x+1 =2(sin x-a)2+1-2a2. 设sin x=t,则-1t1, 并且y=g(t)=2(t-a)2+1-2a2. 当a-1时,如图. 有y最大=g(1)=3-4a, y最小=g(-1)=3+4a; 当-1a1时,,有y最小=g(a)=1-2a2, y最大为g(-1)和g(1)中的较大者, 即y最大=3-4a(-1a0), 或y最大=3+4a(0a1). 当a1时,有y最大=g(-1) =3+4a,y最小=g(1)=3-4a. 18.(12分)已知向量 且 (1)求ab及|a+b|; (2)若f(x)=ab-2 a+b的最小值是 , 求 的值.,解 (1),cos x0,|a+b|=2cos x.,(2)f(x)=cos 2x-4cos x,即f(x)=2(cos x- )2- 1-2 2.,0cos x1.,当 1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值 1-4 ,由已知得1-4 = 解得 这与 1相矛盾. 综上所述, 为所求.,19.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件: 0,1是函数f(x)的两个零点;f(x)的最小值为 (1)求函数f(x)的解析式; (2)设数列an的前n项积为Tn,且Tn=f(n) ( 0,nN*),求数列an的前n项和Sn. 解 (1)由题意知,解得,故,(2) 当n2时,Tn-1=a1a2an-1= 又a1=T1=1满足上式, an=n-1(nN*). 当 =1时,Sn=n, 当 1且 0时,数列an是等比数列, 故数列an的前n项和,20.(12分)已知函数f(x)在(-1,1)上有意义, 且任意的x、y(-1,1)都有f(x)+f(y)= (1)若数列xn满足 (nN*), 求f(xn); (2)求 的值. 解 (1),f(xn)是以-1为首项,以2为公比 的等比数列, 故f(xn)=-2n-1. (2)由题设,有f(0)+f(0)= 故f(0)=0. 又x(-1,1)有f(x)+f(-x)= 得f(-x)=-f(x),故知f(x)在(-1,1)上为奇函数.,=f(xn)+f(xn)=2f(xn),21.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b为常 数,且a0)满足条件:f(-x+5)=f(x-3),且方程 f(x)=x有等根. (1)求f(x)的解析式; (2)是否存在实数m,n(mn),使f(x)的定义域和 值域分别为m,n和3m,3n,如果存在,求 出m,n的值;如果不存在,说明理由. 解 (1)依题意ax2+bx=x,即ax2+(b-1)x=0有等 根,故=(b-1)2=0. b=1, 由f(-x+5)=f(x-3),故f(x)的图象关于直线x=1对 称,,(2) 而抛物线 的对称 轴方程为x=1, 时,f(x)在m,n上为增 函数. 设存在m,n则,即 由知m=0或m=-4,由知n=0或n=-4, 又 取m=-4,n=0.即存在实数m=-4,n=0, 使f(x)的定义域为-4,0,值域为-12,0., ,22.(14分)已知a是实数,函数 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)设g(a)为f(x)在区间0,2上的最小值. 写出g(a)的表达式; 求a的取值范围,使得-6g(a)-2. 解 (1)函数的定义域为0,+), 若a0,则f(x)0, f(x)有单调递增区间0,+).,若a0,令f(x)=0,得 当 时,f(x)0. 故f(x)有单调递减区间 单调递增区间 综上所述,当a0时,f(x)的单调增区间为0, +). 当a0时,f(x)的单调增区间为 单调减区间为,(2)若a0,f(x)在0,2上单调递增, 所以g(a)=f(0)=0. 若0a6,f(x)在 上单调递减,在 上单调 递增, 所以 若a6,f(x)在0,2上单调递减, 所以g(a)=f(2)=,综上所述,g(a)= 令-6g(a)-2. 若a0,无解; 若0a6,解得3a6; 若a6,解得 故a的取值范围为,
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