正弦定理与余弦定理,1,解三角的进一步讨论,正弦定理与余弦定理,2,1、三角形中的边角关系,在 中，设角 的对边分别为 ，则有：,（1）角与角之间的关系：,（2）边与角之间的关系：,正弦定理：,余弦定理：,射影定理：,正弦定理与余弦定理,3,2、正弦定理的另三种表示形式：,正弦定理与余弦定理,4,3、余弦定理的另一种表示形式 zxxk,正弦定理与余弦定理,5,4、正弦定理解三角形可解决的类型： （1）已知两角和任一边解三角形； （2）已知两边和一边的对角解三角形,5、余弦定理解三角形可解决的类型： （1）已知三边解三角形； （2）已知两边和夹角解三角形,正弦定理与余弦定理,6,思考1： 在ABC中，已知a20，b28，A40，求B和 c .,解：, B164，B2116,正弦定理与余弦定理,7,在上例 中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？,（2） b20，A60，a10 ;,（3） b20，A60，a15.,（1） b20，A60，a20 ;,正弦定理与余弦定理,8,（1） b20，A60，a20, 15060 180，, B150应舍去.,正弦定理与余弦定理,9,（2） b20，A60，a10,B90.,正弦定理与余弦定理,10,（3）, 无解.,思考：已知两边和其中一边所对的角， 讨论 解三角形的解的情况？,正弦定理与余弦定理,11,二、难点剖析,1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论 下图即是表示在ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况Z.xxk,正弦定理与余弦定理,12,（1）当A为锐角时（如下图）,正弦定理与余弦定理,13,（2）当A为直角或钝角时（如下图），,正弦定理与余弦定理,14,随堂练习1：,不解三角形，判断三角形的个数,(1)a5，b4，A120 (2)a30，b30，A50 (3)a7，b14，A30 (4)a9，b10，A60 (5)a6，b9，A45 (6)c50，b72，C135,正弦定理与余弦定理,15,解析,正弦定理与余弦定理,16,思考2：能否用余弦定理求解两边及夹角？,利用方程的思想和余弦定理：,当等式 中含有未知数时，,等式便成为方程式中有四个量，知道任意三个，便,可以解出另一个，运用此式可以求 或 或 或,正弦定理与余弦定理,17,已知两边和其中一边的对角的解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况，或借助余弦定理，先求出c后，再求出角A与角C,分析,正弦定理与余弦定理,18,正弦定理与余弦定理,19,正弦定理与余弦定理,20,随堂练习：如图所示，在ABC中，已知BC15，AB : AC7 : 8， 求AD的长,分析,由已知设AB7x，AC8x，故要求AD的长只要求出x，ABC中已知三边只需再有一个角，根据余弦定理便可求x，而用正弦定理正好可求角C,正弦定理与余弦定理,21,解：在ABC中，设AB7x，AC8x 由正弦定理得,再由余弦定理得 (7x)2(8x)215228x15cos60， x28x150，x3或x5， AB21或AB35,正弦定理与余弦定理,22,思考3：利用余弦定理可以判断三角形形状：,、在ABC中，已知a=7，b=10, c=5,判断ABC 的形状。,设c为最长边： (1)ABC是直角三角形 c2=a2+b2 。 (2) ABC是锐角三角形 c2a2+b2 。,正弦定理与余弦定理,23,随堂练习：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6,分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。,B中： ，所以C是钝角,D中： ，所以C是锐角，因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形,A、C显然不满足,B,正弦定理与余弦定理,24,小结：（1）已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形,（2）利用方程的思想和余弦定理，余弦公式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA,（3）由余弦定理判断三角形的形状，求三角形的面积,正弦定理与余弦定理,25,谢谢！,