万有引力定律万有引力定律一、开普勒行星运动定律开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。内容内容图示图示备注备注第一定律(轨道定律)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个公共焦点上行星运动的轨道必有近日点和远日点第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等行星靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小，近日点速度最大，远日点速度最小。第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等表达式k.a3 T2K 值只取决于中心天体的质量通常椭圆轨道近似处理为圆轨道也适于用卫星绕行星的运动二、万有引力定律及其应用1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比2表达式：，G为引力常量：G6.671011 Nm2/kg2.221 rmmGF 3适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离三、环绕速度1第一宇宙速度又叫环绕速度得：7.9 km/s.rmv rMmGmg2 1 2gRrGMv1第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度第二宇宙速度(脱离速度)：v211.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度(逃逸速度)：v316.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度特别提醒:(1) 两种周期自转周期和公转周期的不同(2)两种速度环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度(3)两个半径天体半径R和卫星轨道半径r的不同四、近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题1近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较比较内容比较内容赤道表面的物体赤道表面的物体近地卫星近地卫星同步卫星同步卫星向心力来源万有引力的分力万有引力向心力方向指向地心重力与万有引力的关系重力略小于万有引力重力等于万有引力v11Rv2GM Rv33(Rh) GM Rh线速度v1v3v2(v2为第一宇宙速度)1自2GM R33自GM Rh3角速度132a1 R2 1a2 R2 2GM R2a3 (Rh)2 3GM Rh2向心加速度a1a3a2五、天体的追及相遇问题两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为 a，b 卫星的角速度为 b，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近(如图甲所示)。当它们转过的角度之差 ，即满足 atbt 时，两卫星第一次相距最远（如图乙所示） 。图甲 图乙当它们转过的角度之差 2，即满足 atbt2 时，两卫星再次相距最近。经过一定的时间，两星又会相距最远和最近。1. 两星相距最远的条件：atbt(2n1)(n0,1,2，)2. 两星相距最近的条件：atbt2n(n1,2,3)3. 常用结论：（1）同方向绕行的两天体转过的角度或（n=0、1、2、）时n2|21nTt Tt21表明两物体相距最近。（2）反方向转动的天体转过的角度或（n=0、1、2、）时表n2|21nTt Tt21明两物体相遇或相距最近。考点一考点一 天体质量和密度的计算天体质量和密度的计算1解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即marmvrTmrmrMmG2 22 2)2(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即（g表示天体表2RMmGmg 面的重力加速度)在行星表面重力加速度：，所以2RMmGmg 2RMGg 在离地面高为h的轨道处重力加速度：，得2)(hRMmGgm2)(hRMGg2天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于，故天体质量2RMmGmg GgRM2 天体密度：GRg VM 43(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.由万有引力等于向心力，即，得出中心天体质量；rTmrMmG2 2)2(2324 GTrM若已知天体半径R，则天体的平均密度3233 RGTr VM若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体23 GTVM的密度3.黄金代换公式：GMgR2 例 1.(多选)如图，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )Av1v2v3 Bv1v3v2Ca1a2a3 Da1a3a2【答案】 BD例 2.（多选）“嫦娥二号”探月卫星于 2010 年 10 月 1 日成功发射，目前正在月球上方 100km的圆形轨道上运行。已知“嫦娥二号”卫星的运行周期、月球半径、月球表面重力加速度、万有引力恒量G。根据以上信息可求出： （ ）A卫星所在处的加速度 B月球的平均密度C卫星线速度大小 D卫星所需向心力【答案】ABC例 3.（多选）2014 年 11 月 1 日早上 6 时 42 分，被誉为“嫦娥 5 号”的“探路尖兵”载人飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥 5 号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间 t(t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为 s，航天器与月球的中心连线扫过角度为 ，引力常量为 G，则 ： （ ）A航天器的轨道半径为 B航天器的环绕周期为s t2C月球的质量为 D月球的密度为23Gts224Gt3【答案】BC例 4.（多选）若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度 v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 L已知月球半径为 R，万有引力常量为 G则下列说法正确的是： （ ）A月球表面的重力加速度 B月球的质量2 0 22hvgL月22 0 22hR vmGL月C月球的第一宇宙速度 D月球的平均密度2ovvhRL223 2ohv GL【答案】ABC【解析】平抛运动的时间再根据 h=gt2得，得，故 A 正确；由与0Ltv1 22 0 22hvgL月2GmgR月 月，可得：故 B 正确；第一宇宙速度：，解2 0 22hvgL月22 0 22hR vmGL月2 0 22 vhvg RRL月得故 C 正确；月球的平均密度，故 D 错误；故选 ABC.02vvhRL2 0 2234 33 2mhv GR LR月【名师点睛】解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两个理论的运用。考点二考点二 卫星运行参量的比较与运算卫星运行参量的比较与运算1卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，marmvrTmrmrMmG2 22 2)2(2卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 减小增大减小减小增大时当半径aTvrrGMaGMrTrGMrGMv2332例 5.据报道，2016 年 2 月 18 日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自 2013 年 12 月 14 日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作最长记录。假如月球车在月球表面以初速度竖直上抛出0v一个小球，经时间 t 后小球回到出发点，已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是： （ ）A、月球表面的重力加速度为0v tB、月球的质量为2 0v GtRC、探测器在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动02v R tD、探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为0Rt v【答案】C【名师点睛】根据竖直上抛求得月球表面的重力加速度，再根据重力与万有引力相等和万有引力提供卫星圆周运动向心力分析求解是关键 例 6.某卫星发射中心在发射卫星时，首先将该卫星发射到低空轨道 1，待测试正常后通过点火加速使其进入高空轨道 2，已知卫星在上述两轨道运行时均做匀速圆周运动，假设卫星的质量不变，在两轨道上稳定运行时的动能之比为。如果卫星在两轨道的向心加速1:4:21kkEE度分别用、表示，角速度分别用、表示，周期分别用、表示，轨道半径分别1a2a121T2T用、表示。则下列比例式正确的是： （ ）2rA：=41 B：=211a2a12C：=18 D：=121T2T2r【答案】C【解析】在两轨道上稳定运行时的动能之比为，则根据可得1:4:21kkEE21 2kEmv，根据公式可得，所以轨道 1 和轨道 2 的半径之比为12:2:1vv 22MmvGmrrGMvr，根据公式可得，故：=161，根据公式12:1:4r r 2MmGmar2MaGr1a2a可得可得：=81，根据公式可得：=18，2 2MmGmrr3GM r122 rvT1T2T故 C 正确；【名师点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清22 2 224MmvrGmmrmmarrT楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算例 7.（多选）假设若干年后，由于地球的变化，地球半径变小，但地球质量不变，地球的自转周期不变，则相对于现在： （ ）A地球表面的重力加速度变大B发射一颗卫星需要的最小发射速度变大C地球同步卫星距离地球表面的高度变大D地球同步卫星绕地球做圆周运动的线速度变大【答案】ABC【名师点睛】地球表面物体的重力在不考虑地球自转的影响时，就等于地球对物体的万有引力，由此可得，可知不同高度出的g值关系；同步卫星的特点是在赤道所在平面，周2rMmGmg 期与地球自转周期相同，应用的模型是同步卫星绕地球做匀速圆周运动。考点三考点三 宇宙速度宇宙速度 卫星变轨问题的分析卫星变轨问题的分析1第一宇宙速度v17.9 km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度2第一宇宙速度的两种求法：(1) ，所以rmv rMmG2 1 2rGMv 1(2) ，所以.rmvmg2 1gRv 13.当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：(1)当卫星的速度突然增加时，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离rmv rMmG22心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时减小rGMv (2)当卫星的速度突然减小