1,2.8 连续函数的运算与 初等函数的连续性,连续函数的四则运算的连续性,连续函数的反函数的连续性,小结 思考题 作业,初等函数的连续性,第2章 极限与连续,连续函数的复合函数的连续性,2,定理2.21,如,则,由于,一、连续函数的四则运算的连续性,也在点 x0连续;,在其定义域内连续.,在点 x0连续;,在点 x0连续.,若函数f (x), g(x)在点 x0处连续,3,定理2.22,二、连续函数的反函数的连续性,单调的连续函数,必有单调的连续,从几何直观上看,若函数 y = f (x) 在区间,a, b上单调增加且连续,(如图),则函数 y = f (x),的图形是一条上升,不间,断的曲线,则函数 y = f (x) 与其反函数,的图形是同一条曲线,可见,在对应区间, f (a), f (b)上,单调增加且连续.,反函数.,4,如,结论: 反三角函数在其定义域内皆连续,故,同理,单调增加,且连续,也是单调增加且连续.,单调减少且连续.,单调增加且连续.,单调减少且连续.,定理2.22,单调的连续函数,必有单调的连续反函数.,5,定理2.23,设函数y = f g(x)是由函数y = f (u)与,函数u = g(x)复合而成,则复合函数y = f g(x)在x = x0连续.,证,三、连续函数的复合函数的连续性,若函数u = g(x),在x = x0连续,且 g(x0) = u0,而函数y = f (u)在u = u0,连续,有可能g(x) = u0,但此时,y = f g(x)= f (u0)= f g(x0)并不影响上述极限过程.,6,例,解,由,所以,满足定理2.23的条件有:,上述定理对计算某些极限很方便.,意义,可交换次序;,2. 变量代换,的理论依据.,1. 在定理的条件下,7,例,解,这里,不连续,但,所以,8,例,解,同理可得,9,三角函数及反三角函数,(1),(2),(3),连续的;,单调且连续;,指数函数,对数函数,单调且连续;,均在其定义域内连续.,(4),幂函数,讨论,不同值,在它们的定义域内是,的定义域随,的值而异,但无论,为何值,幂函数总是有定义的.,下面来证明,幂函数是连续的.,事实上,则,定理2.23即证.,四、初等函数的连续性,10,定义区间是指包含在定义域内的区间.,基本初等函数在其定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续.,1. 初等函数仅在其定义区间内连续,如,这些孤立点的邻域内没有定义.,注,在其定义域内不一定连续;,定理2.24,11,例,例,解,解,2. 初等函数求极限的方法,注,代入法.,12,练习,解,考研数学三, 填空题, 3分,13,练习,考研数学(三, 四),选择题(4分),则,(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.,(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.,(C) x = 0必是g(x)的连续点.,(D) g(x) 在点x = 0处的连续性与a的取值有关.,14,例,例,则,幂指函数,注,15,五、小结,连续函数的四则运算的连续性;,连续函数的复合函数的连续性;,初等函数的连续性:,求极限的又一种方法.,连续函数的反函数的连续性;,定义区间与定义域的区别;,16,思考题1,如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?,连续,思考题2 (是非题),处有定义,则,17,解答,思考题1,如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?,连续,(1) 若两个函数 中只有一个在点x0不连续,则f (x) + g(x)在点x0必不连续.,用反证法证之:,不妨设在点x0,并假设,f (x) + g(x)在点x0连续,则由连续函数的运算性,质有:,在点x0连续,与已知矛盾.,故 f (x) + g(x)在点x0不连续.,f (x)连续,g(x)不连续;,18,解答,思考题1,如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不连续,(2) 若f (x)、g(x)在点x0均不连续,则,在f (x) + g(x)在点x0可能连续,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?,也可能不连续.,如:,在 x = 0处均不连续,在 x = 0处,连续.,在 x = 0处均不连续,在 x = 0处亦不连续.,19,思考题2 (是非题),处有定义,则,非,故,但,20,思考题2(是非题),处有定义,则,所以,不存在.,故,正确的说法是:,在点x0连续,则,21,作业,习题2.8 (48页),