数学归纳法要点梳理 1.归纳法由一系列有限的特殊事例得出 的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为 归纳法和归纳法.,一般结论,完全,不完,全,基础知识 自主学习,2.数学归纳法(1)数学归纳法：设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果证明起始命题P1（或P0) 成立；在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立. (2)数学归纳法证题的步骤(归纳奠基)证明当n取第一个值 时,命题成立.(归纳递推）假设 (kn0,kN+)时命题成立，证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,n=n0,n=k,n=k+1,基础自测 1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1(a1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为( )A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3,C,2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一 步检验第一个值n0等于( )A.1 B.2 C.3 D.0解析 边数最少的凸n边形是三角形.,C,3.如果命题p(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2成立，则下列结论正确的是( )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立解析 归纳奠基是：n=2成立.归纳递推是：n=k成立，则对n=k+2成立.p（n）对所有正偶数n都成立.,B,4.某个命题与自然数n有关，若n=k(kN+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( )A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立解析 方法一 由n=k(kN+)成立,可推得当n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立，必有n=5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立.方法二 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立，则当n=k时也不成立”为真，故“n=5时不成立”“n=4时不成立”.,C,5.用数学归纳法证明1+2+3+n2= ,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )A.k2+1 B.（k+1）2C.D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2解析 当n=k时，左边=1+2+3+k2，当n=k+1时，左边=1+2+3+k2+（k2+1）+（k+1）2，当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2.,C,题型一 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明:对任意的nN+,用数学归纳法证明的步骤为：归纳奠基：验证当n=1时结论成立；归纳递推：假设当n=k（kN+）时成立，推出当n=k+1时结论也成立.,题型分类 深度剖析,证明 所以等式成立. (2)假设当n=k(kN+)时等式成立,即有,所以当n=k+1时,等式也成立. 由（1）（2）可知,对一切nN+等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的一 些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边 的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边变 化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题 得以证明.,知能迁移1 用数学归纳法证明：证明 （1）当n=1时，等式左边等式右边 所以等式成立.（2）假设n=k（kN+）时等式成立，那么当n=k+1时，,即n=k+1时等式成立. 由（1）（2）可知，对任意nN+等式均成立.,题型二 用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1 (nN+）能被a2+a+1整除.解 （1）当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.（2）假设n=k(kN+)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，,验证n=1时命题是否成立,假设n=k时命题成立,推证n=k+1时命题成立,得结论,则当n=k+1时， ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假设可知aak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除， (a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除， ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除， 即n=k+1时命题也成立， 对任意nN+原命题成立.证明整除问题的关键是“凑项”，而 采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出 n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.,知能迁移2 求证：（3n+1）7n-1 (nN+)能被9整除.证明 (1)当n=1时,(3n+1)7n-1=27能被9整除.(2)假设n=k (kN+)时命题成立，即(3k+1)7k-1能被9整除，那么n=k+1时：3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)+3(1+6)7k-1=(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k=(3k+1)7k-1+3k67k+(6+21)7k.以上三项均能被9整除.则由（1）（2）可知，命题对任意nN+都成立.,题型三 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立.应注意到题目条件，第一步应验证n=2时不等式成立.证明 （1）当n=2时，左边左边右边，不等式成立.（2）假设n=k (k2,且kN+)时不等式成立，,则当n=k+1时，当n=k+1时，不等式也成立. 由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等 式都成立.,在由n=k到n=k+1的推证过程中，应用放 缩技巧，使问题得以简化.用数学归纳法证明不等 式问题时，从n=k到n=k+1的推证过程中，证明不等 式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩 法等.,知能迁移3 已知函数f(x)=x-sin x,数列an满足:00,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在0，1上连续，从而f(0)f(ak)f(1),即0ak+11-sin 11.,故当n=k+1时，结论成立. 由()()可知，0an1对一切正整数都成立. 又因为0an1时， an+1-an=an-sin an-an=-sin an0, 所以an+1an. 综上所述,0an+1an1. （2）设函数g(x)=sin x-x+ 由（1）知，当0x1时，sin x0,即,题型四 归纳、猜想、证明（12分）已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn，且（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较 与Sn+1的大小，并说明理由.(1)由a2、a5是方程的根，求出an，再由 求出bn.(2)先猜想 与Sn+1的大小关系，再用数学归纳法证明.,解 又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.,5分,6分,下面用数学归纳法证明： 当n=4时，已证.,9分,=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12 =S(k+1)+1,11分,12分,（1）归纳猜想证明是高考重点 考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和 存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况 入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一 般规律. （2）数列是定义在N+上的函数，这与数学归纳法 运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归 纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用 数学归纳法解决.,知能迁移4 如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、Pn（xn，yn）（0y1y2yn）是曲线C：y2=3x（y0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，n）在x轴的正半轴上，且Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）. (1)写出a1、a2、a3；(2)求出点An（an，0）（nN+）的横坐标an关于n的表达式并证明.,解 （1）a1=2,a2=6,a3=12. (2)依题意，得即(an-an-1)2=2(an-1+an). 由（1）可猜想：an=n(n+1) (nN+). 下面用数学归纳法予以证明： 当n=1时，命题显然成立； 假设当n=k(kN+)时命题成立,即有an=k(k+1), 则当n=k+1时，由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),得ak+1-k(k+1)2=2k(k+1)+ak+1, 即(ak+1)2-2(k2+k+1)ak+1+k(k-1)（k1）（k+2）=0， 解之得，ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)1)”时，由n=k(k1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 ( )A.2k-1 B.2k-1C.2k D.2k+1解析 增加的项数为（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.,C,3.对于不等式 (nN+)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n=1时， 不等式成立.（2）假设当n=k(kN+)时，不等式成立，即 则当n=k+1时，所以当n=k+1时，不等式成立，则上述证法( )A.过程全部正确 B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析 在n=k+1时，没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.,D,4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开( )A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3解析 假设当n=k时，原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除. 当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k+3)3展开，让其出现k3即可.,