第第 3131 讲讲 数列求和数列求和课前双击巩固课前双击巩固1.公式法(1) 公式法 等差数列的前n项和公式:Sn= = .(其中a1为首项,d为公差) 等比数列的前n项和公式:当q=1 时,Sn= ; 当q1 时,Sn= = .(其中a1为首项,q为公比). (2)分组求和法一个数列的通项是由 的数列的通项组成的,则求和时可用分组求和法,分 别求和后再相加减. 2.倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列中,到首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 ,那么求 这个数列的前n项和即可用倒序相加法. (2) 并项求和法数列an满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用 求其前n项和.如通 项公式形如an=(-1)nf(n)的数列. 3.裂项相消法把数列的通项拆成 ,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 4.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之 构成的,那么求这个数列的前n项和时即可用错位相减法. 常用结论1.一些常见的前n项和公式(1)1+2+3+4+n=.(2)1+3+5+7+2n-1=n2.(3)2+4+6+8+2n=n2+n.2.常用的裂项公式(1)= -.(2)=.(3)=-.题组一 常识题1. 教材改编 若数列的通项公式为an=2n-1+n,则数列的前n项和Sn= . 2. 教材改编 若数列的通项公式为an=,则数列的前 20 项和为 . 3. 教材改编 若数列的通项公式为an=(n-1)2n-1,则数列的前n项和Sn= .题组二 常错题索引:用裂项相消法求和时不能准确裂项;用错位相减法求和时易出现符号错误、不能准 确“错项对齐”等错误;并项求和时不能准确分组.4.设数列an的前n项和为Sn,若Sn=4n2-1(nN*),则数列的前n项和为 . 5.32-1+42-2+52-3+(n+2)2-n= . 6.在数列an中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,nN*,则S60的值为 . 7.已知数列an满足an+1= +,且a1=,则该数列的前 2018 项的和等于 . 课堂考点探究课堂考点探究探究点一 分组求和法求和1 在公差不为零的等差数列中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若bn=an+,求数列的前n项和Tn.总结反思 某些数列在求和时是将数列的通项转化为若干个等差或等比或可求和的数列 通项的和或差,从而间接求得原数列的和.注意在含有字母的数列中要对字母进行讨论.式题 已知数列的前n项和Sn=(nN*).(1)求数列的通项公式;(2)设bn=2n+(-1)nan,求数列的前 2n项和.探究点二 错位相减法求和2 在等差数列中,a2=2,a3+a5=8,在数列中,b1=2,其前n项和Sn满足bn+1=Sn+2(nN*).(1)求数列,的通项公式;(2)设cn=,求数列的前n项和Tn.总结反思 错位相减法求和,主要用于求anbn的前n项和,其中,bn分别为等差数列和等比数列. 式题 2017哈尔滨二模 设Sn是数列的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(nN*).(1)求数列的通项公式;(2)令bn=(2n-1)an,求数列的前n项和Tn.探究点三 裂项相消法求和考向 1 形如an=3 已知正项数列满足a1=1,+-=4,数列满足=+,记的前n项和为Tn,则T20的值为 . 总结反思 数列的通项公式形如an=时,可转化为an=(-),此类数列适合使用裂项相消法求和.考向 2 形如an=4 2017青岛二模 在公差不为 0 的等差数列中,=a3+a6,且a3为a1与a11的等比中项.(1)求数列的通项公式;(2)设bn=,求数列的前n项和Tn.总结反思 (1)数列的通项公式形如an=时,可转化为an=-,此类数列适合使用裂项相消法求和.(2)裂项相消法求和的基本思路是变换通项,把每一项分裂为两项,裂项的目的是产生可以相 互抵消的项.强化演练1.【考向 1】数列的通项公式为an=,若该数列的前k项之和等于 9,则k=( )A.98B.99C.96D.972.【考向 1】数列an的通项公式为an=(nN*),若该数列的前n项和为Sn,则Sn=( )A.-1B.+-1C.D.3.【考向 2】若数列满足a1=1,且对任意的m,nN*都有am+n=am+an+mn,则+ += ( )A.B.C.D.4.【考向 2】 2017成都九校联考 已知等比数列满足a1=,a3a5=4(a4-1).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列满足bn=log2(16an),求证:数列的前n项和Sn .