因式分解提分讲义1因式分解法解题方法及提分突破训练因式分解法解题方法及提分突破训练题型特点题型特点由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体载体正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点解题总方略解题总方略因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法提取公因式法 公式法公式法分组分解法分组分解法 十字相乘法十字相乘法还有较复杂的几种方法：拆项添项拆项添项 求根分解求根分解换元换元 待定系数待定系数因式分解提分讲义2一一 公式法公式法 必记提分公式：必记提分公式：（1 1）(a+b)(a(a+b)(a-b)b) = = a a2 2-b b2 2 -a-a2 2-b b2 2=(a+b)(a=(a+b)(a-b)b)；(2)(2) (ab)(ab)2 2 = = a a2 22ab+b2ab+b2 2 a a2 22ab+b2ab+b2 2=(ab)=(ab)2 2；(3)(3) (a+b)(a(a+b)(a2 2-ab+bab+b2 2) ) =a=a3 3+b+b3 3- a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+bab+b2 2) )；(4)(4) (a(a-b)(ab)(a2 2+ab+b+ab+b2 2) ) = = a a3 3-b b3 3 -a-a3 3-b b3 3=(a=(a-b)(ab)(a2 2+ab+b+ab+b2 2) )(5)(5) a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 2；(6)(6) a a3 3+b+b3 3+c+c3 3-3abc=(a+b+c)(a3abc=(a+b+c)(a2 2+b+b2 2+c+c2 2-abab-bcbc-ca)ca)；典型考题典型考题1.已知abc，是ABC的三边，且222abcabbcca，则ABC的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形2.分解因式：3(x+y)2-27二二 分组分解法分组分解法 （一）分组后能直接提公因式 1、分解因式：bxbyayax5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bxbyayax 原式=)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa =)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx =)5)(2(yxba（二) 分组后能直接运用公式2、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=)()(22ayaxyx =)()(yxayxyx=)(ayxyx3、分解因式：2222cbaba因式分解提分讲义3三三 十字相乘法十字相乘法 （一）二次项系数为（一）二次项系数为 1 1 的二次三项式的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。 特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。十字相乘的基本规律：凡是能十字相乘的二次三项式十字相乘的基本规律：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c， 都要求都要求24bac 0 而且是一个完全平方数。而且是一个完全平方数。1、分解因式：652 xx分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的 分解适合，即2+3=5。 1 2解：652 xx=32)32(2xx 1 3 =)3)(2(xx 12+13=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数 的代数和要等于一次项的系数。2、分解因式：672 xx解：原式=)6)(1()6() 1(2xx 1 -1 =)6)(1(xx 1 -6 （-1）+（-6）= -7（二）二次项系数不为（二）二次项系数不为 1 1 的二次三项式的二次三项式cbxax2条件：（条件：（1）21aaa 1a 1c（2）21ccc 2a 2c（3）1221cacab 1221cacab分解结果：分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa3、分解因式：101132xx 分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132xx=)53)(2(xx（三）二次项系数为（三）二次项系数为 1 1 的二次多项式的二次多项式4、分解因式：221288baba 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相 乘法进行分解。1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解：221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba （四）二次项系数不为（四）二次项系数不为 1 1 的二次多项式的二次多项式例 9、22672yxyx 例 10、2322 xyyx1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 因式分解提分讲义42 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(yxyx 解：原式= )2)(1(xyxy四四 换元法换元法1、分解因式（1）2005) 12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解：（1）设 2005=a，则原式=axaax) 1(22=)(1(axax=)2005)(12005(xx（2）型如）型如eabcd 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相 乘。乘。原式=222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672原式=2)2(xAxA=222xAxA=2)(xA=22)66( xx2、分解因式（1）262234xxxx观察：此多项式的特点观察：此多项式的特点是关于是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成，并且系数成“轴对称轴对称” 。这种多项式属于。这种多项式属于“等距离多项式等距离多项式” 。 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=)1162(222 xxxxx=6)1()1(2222xxxxx设txx1，则212 22txx原式=6)2222ttx （=10222ttx=2522ttx= 215222 xxxxx= 21522xxxxxx=1225222xxxx=)2)(12() 1(2xxx（2）144234xxxx解：原式=22 241(41)xxxxx = 1141222 xxxxx设yxx1，则212 22yxx原式=22(43)xyy=2(1)(3)xyy=)31)(11(2xxxxx=13122xxxx因式分解提分讲义5五五 添项、拆项、配方法添项、拆项、配方法 1、分解因式 （1）4323 xx 解法 1拆项。 解法 2添 原式=33123xx 原式= 444323xxxx=) 1)(1(3) 1)(1(2xxxxx =)44()43(2xxxx =)331)(1(2xxxx =) 1(4)4)(1(xxxx = )44)(1(2xxx = )44)(1(2xxx=2)2)(1(xx =2)2)(1(xx（2）3369xxx解：原式=) 1() 1() 1(369xxx=) 1() 1)(1() 1)(1(333363xxxxxx=) 111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx六六 待定系数法待定系数法1、分解因式613622yxyxyx分析：原式的前3项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622613622yxyxyx= mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得 613231mnmnnm，解得 32 nm原式=)32)(23(yxyx2、 （1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分