O D C BA O E D C B A F O E DCB A F O E DC B A 圆的证明与计算圆的证明与计算 专专 题题 研研 究究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解 决好此题比较关键。 一、考点分析：一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证 明和计算中经常用到. 二、考题形式分析二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第 1 问主要是判定切线；第 2 问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积） ；求 线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比） 。 三、解题秘笈三、解题秘笈： 1 1、判定切线的方法：、判定切线的方法： （1）若切点明确，则若切点明确，则“连半径，证垂直连半径，证垂直” 。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则若切点不明确，则“作垂直，证半径作垂直，证半径” 。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点） ；直线与半径的关系是互相垂 直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： （1）如图，AB是O的直径，BCAB，ADOC交O于D点，求证：CD为O的切线； （2）如图，以RtABC的直角边AB为直径作O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是 O的切线. （3）如图，以等腰ABC的一腰为直径作O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DEAC于E（或E为CF中点） ， 求证：DE是O的切线. （4）如图，AB是O的直径，AE平分BAF，交O于点E，过点E作直线EDAF，交AF的延长线于点D，交 AB的延长线于点C，求证：CD是O的切线. 2 2、与圆有关的计算：、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规 律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进 行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的 数学思想方法有： （1 1）构造思想）构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所 有线段长） ；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数. （2 2）方程思想：）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问 题。 （3 3）建模思想：）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形 的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。 3 3、典型基本图型：、典型基本图型： 图形图形 1 1：如图 1：AB是O的直径，点E、C是O上的两点，基本结论有：，基本结论有： （1）在“AC平分BAE” ；“ADCD” ；“DC是O的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图 2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF） 。 （3）如图（4）：若CKAB于K，则： CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD; 2 1 ADCACBAC2=ADAB （4）在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGCD 于E时（如图 5） ，则： DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG=DC2 2 4 1 DG 图形图形 2 2：如图：RtABC中，ACB=90。点O是AC上一点，以OC为半径作O交AC于点E，基本结论有基本结论有： （1）在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC” 。四个论断中，知一推三。 （2）G是BCD的内心； ；BCOCDEBODE=COCE=CE2； 2 1 （3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。 （4）如图（3） ，若BC=CE，则：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二） AD AE 2 1 设BE、CD交于点H，,则BH=2EH 图形图形 3 3：如图：RtABC中，ABC=90,以 AB 为直径作O 交 AC 于 D，基本结论有：基本结论有： 图 2 E G O F D C B A H 图 3 A B C D F O G E 图 1 EO D C B A O E A B C D 图 1 O E D C BA F 图 2 AB C D E O F 图 3 AB C D E O K 图 4 A B C D E O G 图 5 A B C D E O CG=GD 如右图：（1）DE切OE是BC的中点； （2）若DE切O，则：DE=BE=CE； D、O、B、E四点共圆CED=2A CDCA=4BE2, BA BC BD CD R DE 图形特殊化：在（图形特殊化：在（1 1）的条件下）的条件下 如图 1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形； 如图 2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则： ; 3 1 EF DE 2 1 R BE 图形图形 4 4：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F， 基本结论有：基本结论有： （1）DEACDE切O； （2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形； EF=EC；D是 的中点。与基本图形基本图形 1 1 的结论重合。 连 AD，产生母子三角形。 图形图形 5 5：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于， 基本结论有基本结论有： （1）如图 1：AD+BCCD； COD=AEB=90； OD平分ADC（或OC平分BCD） ；（注：在、及 “CD是O的切线”四个论断中，知一推三） ADBC 2=R2； AB 4 1 （2）如图 2，连AE、CO，则有：COAE，COAE=2R2(与基本图形 2 重合) （3）如图 3，若EFAB于F，交AC于G，则：EG=FG. 图形图形 6 6：如图：直线PRO的半径OB于E，PQ切O于Q，BQ 交直线PQ于R。 基本结论有：基本结论有： A C D O E B 图 1图 2 F B D E O C A Q R PE O B A Q R P E O B Q R P E O B A Q RP E O B F E D C B O ABF 图 1 O E D CB A 图 2 F A B C D E O 图 3 G F A B C D E O （1）PQ=PR (PQR是等腰三角形)； （2）在“PROB” 、 “PQ切O” 、 “PQ=PR”中，知二推一 （3）2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2 图形图形 7 7：如图，ABC内接于O，I为ABC的内心。基本结论有：基本结论有： （1）如图 1，BD=CD=ID；DI2DEDA； AIB=90+ACB; 2 1 （2）如图 2，若BAC=60，则：BD+CE=BC. 图形图形 8 8：已知，AB是O的直径，C是 中点，CDAB于D。BG交CD、AC 于E、F。基本结论有：基本结论有： （1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE 2 1 (反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中点) 2 1 （2）OE=AF，OEAC；ODEAGF 2 1 （3）BEBG=BDBA （4）若D是OB的中点，则：CEF是等边三角形； 四、范例讲解：四、范例讲解： H O G F E D C BA BC=CG=AG BG BG 图 1 E O I D CB AA B C D I O E 图 2 O C F E D B A 1.1.ABP中，ABP=90，以AB为直径作O交AP于C点，弧=，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线 CF CB 交BP于D. （1）求证：CD为O的切线； （2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。 AF EF 2 2直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F. 求证：CD为O的切线 若，求的值 5 3 AB BE DF BF 3 3如图，AB为直径，PB为切线，点C在O上，ACOP。 （1）求证：PC为O的切线。 （2）过D点作DEAB，E 为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。 DB DG 4 4。如图，已知ABC中，以边BC为直径的O与边AB交于点D，点E为 的中点，AF为ABC的角平分线，且 AFEC。 （1）求证：AC与O相切； （2）若AC6，BC8，求EC的长 5.5.如图，RtABC，以AB为直径作O交AC于点D， ，过D作AE的垂线，F为垂足. （1）求证：DF为O的切线； （2）若DF=3，O的半径为 5，求的值.tanBAC F O E C D B A O F H E D C B A BD BD=DE O C F E D B A O F E DC B A O E D C BA EAO F D C B 6如图，AB为O的直径，C、D为O上的两点， ，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足. （1）求证：EF为O的切线； （2）若AC=6，BD=5，求的值.sinE 7如图，AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F. （1）求证：DE=DF； （2）连结AE，若OF=1，BF=3，求的值.tanA 8如图，RtABC中，C=90，BD平分ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作O，O交AB于点一点 E，EFAC于点F. （1）求证：O与AC相切； （2）若EF=3，BC=4，求的值.tanA 9如图，等腰ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交BC于点D，DEAC于E. （1）求证：DE为O的切线； （2）若BC=，AE=1，求的值. 4 5cosAEO 10如图，BD为O的直径，A为 的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE. （1）求证：DF为O的切线； AD=DC BC F O E D C BA F M H O N E D C B A D A O F E C B （2）若AE=2，DE=4，BDF的面积为，求的值.8 3tanEDF 11、如图，AB是O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交 EN于点F，且ECF=E （1）求证：CF是