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2018-2019 学年:与圆有关的线段含答案(九年级数学年:与圆有关的线段含答案(九年级数学上专题复习一)学上专题复习一)专题复习一 与圆有关的线段弦、半径、直径是圆中的主要线段,主要应用垂径定理解决与线段有关的计算,弦心距和半径是主要的辅助线,方程思想是计算的主要思想方法1.如图所示,O 的直径 CD 垂直于弦 AB 于点 E,且CE=2,DE=8,则 AB 的长为(D).A.2 B.4 C.6 D.8(第 1 题) (第 2 题) (第 3 题) (第 4 题)2.如图所示,O 的半径为 6,ABC 是O 的内接三角形,连结 OB,OC,若BAC 与BOC 互补,则线段 BC 的长为(C).A.3 B.3 C.6 D.63.如图所示,半径为 3 的O 内有一点 A,OA=3,点P 在O 上,当OPA 最大时,PA 的长为(B).A. B. C.3 D.2 4.如图所示,在等边三角形 ABC 中,AB,AC 都是O 的弦,OMAB,ONAC,垂足分别为点 M,N.如果 MN=1,那么ABC 的面积为(B).A.3 B. C.4 D. 5.如图所示,O 的半径 ODAB 于点 C,连结 AO并延长交O 于点 E,连结 EC.若 AB=8,CD=2,则 EC的长为(D).A.2 B.8 C.2 D.2 (第 5 题) (第 6 题) (第 7 题) (第 8 题)6.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”此问题的实质就是解决下面的问题:“如图所示,CD 为O 的直径,ABCD 于点 E,CE=1,AB=10,求 CD的长.”根据题意可得 CD 的长为 26 7.如图所示,已知 P 为O 内一点,且 OP=2cm,如果O 的半径是 3cm,那么过点 P 的最短的弦长为 2 cm.8.如图所示,O 的半径为 5,弦 BC=8,点 A 在O上,AOBC,垂足为点 D,E 为 BC 延长线上一点,AE=10,则 CE 的长为 2 .9.如图所示,AB 是半圆 O 的直径,BC 是弦,点 P 从点 A 开始,沿 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动,若AB 为 10cm,点 O 到 BC 的距离为 4cm(1)求弦 BC 的长(2)经过几秒,BPC 是等腰三角形?(第 9 题) 图 1 图 2(第 9 题答图)【答案】(1)如答图 1 所示,作 ODBC 于点D,BD= BC.OB= AB=5(cm),OD=4(cm),BD=3(cm).BC=2BD=6(cm).(2)设经过 t(s)后,BPC 是等腰三角形.当 PC 为底边时,BP=BC,10-t=6,解得 t=4(s).当 BC 为底边时,PC=PB,点 P 与点 O 重合,此时t=5(s).当 PB 为底边时,PC=BC.如答图 2 所示,连结 AC,作 CEAB 于点 E,则 BE= ,AE= .AB 是直径,ABC 是直角三角形.AC= =8. AC2-AE2=BC2-BE2,64-( )2=36-( )2,解得t=2.8(s).综上可知,经过 4s 或 5s 或 2.8s 后,BPC 是等腰三角形.10.如图所示,ABC 是O 的内接等边三角形,弦EF 经过 BC 的中点 D,且 EFBA,若O 的半径为433,则 DE 的长为(C).A. -1 B. C. -1 D. (第 10 题) (第 11 题) (第 12 题) (第 13 题) (第 14 题)11.如图所示,有半径为 2 和 4 的两个同心圆,矩形ABCD 的边 AB,CD 分别为两圆的弦,当矩形的面积为最大时,它的周长等于(D).A.22+6 B.20+8 C.18+10 D.16+12 12.如图所示,AB 是O 的直径,AB=2,OC 是O 的半径,OCAB,点 D 在 AC 上,AD=2CD,P 是半径 OC 上一个动点,那么AP+PD 的最小值等于 13.如图所示,O 的直径 AB=10,P 是 OA 上一点,弦 MN 过点 P,且 AP=2,MP=22,那么弦心距 OQ 为 14.如图所示,半径为 1 的半圆 O 上有两个动点A,B,若 AB=1,则四边形 ABDC 的面积的最大值是 15.小明学习了垂径定理后,做了以下探究,请根据题目要求帮小明完成探究(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1 所示,在O 中,C 是劣弧 AB 的中点,直线CDAB 于点 E,则 AE=BE.请证明此结论(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,称为该圆的一条折弦.如图 2 所示,PA,PB 组成O 的一条折弦,C 是劣弧 AB 的中点,直线 CDPA 于点E,则 AE=PE+PB.可以通过延长 DB,AP 相交于点 F,再连结 AD 证明结论成立.请写出证明过程(3)如图 3 所示,PA,PB 组成O 的一条折弦,若 C是 的中点,直线 CDPA 于点 E,则 AE,PE 与 PB之间存在怎样的数量关系?写出结论,不必证明(第 15 题) (第 15 题答图)【答案】(1)如答图所示,连结 AD,BD.C 是劣弧AB 的中点,CDA=CDB.ADB 为等腰三角形.CDAB,AE=BE.(2)四边形 ADBP 是圆内接四边形,PBD+PAD180.PBD+PBF=180,PBF=PAD.C 是劣弧 AB 的中点,CDA=CDF.CDPA,AFD 为等腰三角形.F=A,AE=EF.PBF=F.PB=PF.AE=PE+PB.(3)AE=PE-PB.16.【陕西】如图所示,ABC 是O 的内接三角形,C=30,O 的半径为 5,若点 P 是O 上的一点,在ABP 中,PB=AB,则 PA 的长为(D).A.5 B. C.5 D.5 (第 16 题) (第 17 题)17.【十堰】如图所示,ABC 内接于O,ACB=90,ACB 的平分线交O 于点 D.若AC=6,BD=5 ,则 BC 的长为 8 .18.要在半径为 1、圆心角为 60的扇形 AOB 铁皮上截取一块尽可能大的正方形.小明设计如下两种截取方案方案一(如图 1 所示):点 C 在 OA 上,点 D,E 在 OB上,点 F 在 上方案二(如图 2 所示):点 C 在 OA 上,点 D 在 OB 上,点 E,F 在 上请计算这两种方案中正方形铁皮的面积,帮小明选择合理的方案(参考数据: 1.41, 1.73).(第 18 题) 图 1 图 2(第 18 题答图)【答案】方案一:如答图 1 所示,连结 OF,设正方形 CDEF 的边长为 x.圆心角为 60,OD= x.在RtOFE 中,OF2=OE2+EF2,即 12=x2+(x+ x)2,解得 x2= .S 四边形 CDEF=x2= 0.29.方案二:如答图2 所示,过点 O 作 OGEF,交 CD 于点 H,交 EF 于点 G,连结 OE.设 EG=x,则 EF2x.四边形 CDEF 是正方形,OHCD.EG=DH=x.DOC=60,H为 CD 中点,OH= DH= x.OG=OH+HG= x+2x.在 RtOEG 中,OE2=GE2+OG2,即 12=x2+( x+2x)2,解得 x2= .S 四边形 CDEF=4x2=2- 0.27.方案一截取的正方形的面积较大,应选方案一.
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