本课程与相关课程的关系,电磁场与电磁波,线性代数,复变函数,高等数学,普通物理,信号与系统,通信原理,微波技术与天线,无线通信,光纤通信,高速数字电路设计,电磁兼容,电磁场与电磁波要回答的问题,什么是场？是标量场还是矢量场？是连续的还是有旋的场？,龙卷风,电磁场与电磁波要回答的问题,微波炉中不能用金属器皿，为什么？,视频信号为什么一般用同轴电缆传输？,一段导线如何发射或接收信号？ 短波收音机晚上收到的台多且干扰大，为什么？,电磁场与波要回答的问题（续）,电磁辐射对人体有影响吗？,飞机为什么会隐身？,F117俯视图,电磁场与波要回答的问题（续）,天气对信号传输有影响吗？,什么是击穿？,电磁场与波要回答的问题（续）,电磁兼容,高功率微波炸弹！,电磁场与波要回答的问题（续）,电视接收天线为什么水平放置？极化 什么是色散？对传输容量有何影响？ 回波损耗与匹配传输 高频滤波与电磁屏蔽,远距离通信是靠什么？什么是电磁波？,模仿波的传播,标准波动方程,边界条件,初始条件,研究从方形物体的反射波,解亥姆霍兹方程（波数为60）,设来波从右边入射，,入射波和反射波在边界上满足狄利克莱条件。,课程内容,电磁场与电磁波,矢量分析与场论 静电场和恒定电场 边值问题的解法 恒定电流的磁场 时变电磁场 平面电磁波,传输线 波导与谐振器 电磁波的辐射 无线信道、电磁干扰与电磁兼容,电磁理论电磁工程,课程特点,理论体系严谨 抽象看不见、摸不着 复杂时域、频域、空域、极化 要求具有较深厚的数学功底和较强的空间想象能力 较好的逻辑推理能力 应用广泛,电磁应用,电磁理论,电磁医疗仪器、电磁医疗,强电（变压器、电机等）,探地雷达,射电天文,磁悬浮技术,工业无损探伤,微波烘干、杀菌,电子对抗,无线通信,广播、电视,雷达、导航、遥感,电磁兼容等,第1章 矢量分析与场论,1.1节 矢量及其代数运算 1.2节 圆柱坐标系和球坐标系 1.3节 矢量场 1.4节 标量场 1.5节 亥姆霍兹定理,1.1 矢量及其代数运算,本节要点,标量与矢量,矢量的代数运算,1.标量与矢量,标量(scalar)-一个仅用大小就能够完整地描述的物理量 如：电压、温度、时间、质量、电荷等 矢量(vector)-一个有大小和方向的物理量如：电场、磁场、力、速度、力矩等,(1)矢量的表示,矢量的一般表示,A=0,空矢(null vector)或零矢(zero vector),a为单位矢量(unit vector),矢量A的大小,代表矢量A 的方向,(2)位置矢量(position vector),位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。,任一矢量可以表示为：,从原点指向空间任一点 P 的矢量，称为位置矢量。,直角坐标系中的一点P的位置矢量,P(X,Y,Z),(3)矢量的代数运算,加法和减法,矢量的乘积,1. 矢量的加法和减法,结论:矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则。,矢量的代数运算,2. 矢量的乘积,(1)点积(dot product),结论,如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然相互垂直。,在直角坐标系中,也称为标量积(scalar product)。它等于两个矢量的大小与它们的夹角的余弦之乘积。,(2) 叉积(cross product),任意两个矢量的叉积是一个矢量，故也称为矢量积(vector product)。,方向垂直于矢量 A与B组成的平面，且 A、B与C成右手螺旋关系,大小等于两个矢量的大小与它们的夹角的正弦之乘积,(2) 叉积（续）,在直角坐标系中，叉积还可以表示为,结论,在直角坐标系中,如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量 必然相互平行。,结论,矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则。 任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉积是一个矢量 如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然相互垂直。 如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行。,1.2 圆柱坐标系和球坐标系,圆柱坐标系 球坐标系 与直角坐标系的关系,本节要点,1. 1 圆柱坐标系,x=cos y=sin z=z,r= a +azz, =常数,P点,1.2 圆柱与直角坐标系的转换关系,(1)单位矢量之间的转换,a=axcos+aysin,a = axsin+aycos,az=az,(2)圆柱坐标系的拉梅系数,圆柱坐标系中任意点P沿、和z方向的长度增量,它们与各自坐标增量之比分别为,(3)圆柱坐标系的积分,dS = a d dz,dS = a d dz,dV= d d dz,dSz = az d d,积分用拉梅系数表达是否更容易记忆?,2.1 球坐标系,P点,x=rsin cos y= rsin sin z= rcos,r=rar,2.2-1 球坐标与直角坐标系的转换,(1)单位矢量之间的转换,类似可得另两个单位矢量与直角坐标之间的变换关系,(2)球坐标系的拉梅系数,球坐标中的拉梅常数为,空间一点沿r、和方向的长度增量分别为,(3)球坐标系的积分,dS = a dlrdl=a rdrd,dS = a dlrdl =a rsin drd,dSr = ar dl dl =ar r2sin dd,dV= r2sin drdd,1.3 矢量场(vector field),赋予物理意义的矢性函数称为矢量场,本节要点,矢量线,通量和散度,环量和旋度,1.矢量线(vector line),如：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等,矢量线的方程为,在直角坐标系中，其表达式为,所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一点处， 场的矢量都位于该点处的切线上。,例1-1,式中，q和0均为常数,r=axx+ayy+azz为场点的位置矢量。,设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点处所产生的电场强度矢量为,求的矢量线方程并画出矢量线图。,得矢量线方程为,解：,讨论,如果将产生场的物理量称为源，有标量源和矢量源； 点电荷为标量源，它所产生的场是从源点出发的发散场。 我们是否可以得到结论：由标量源所产生的场均为发散场，或者称为无旋场？ 电流源为矢量源，它所产生的场是连续的，或者说是有旋的场？ 实际上，后面的分析就会证明上述结论的正确。,讨论,假定矢量场A为流体的速度，通量的物理意义：单位时间内流体从曲面S内穿出的正流量与从曲面S外流入的负流量的代数和。,当0，流出多于流入，表示在S内必有产生流体的正源； 当0，称为源点(source point)-表示矢量场在该点处有散发通量之正源； 当divA0，称之为汇点(sink point)-表示矢量场在该点处有吸收通量之负源； 当divA=0，表示矢量场在该点处无源 。,称divA=0的场是连续的(continuous)或无散的（螺线管式）矢量场(solenoidal vector field) 。,4. 哈米尔顿（Hamilton）算子,矢性微分算子，在直角坐标系中,5. 散度定理(divergence theorem),高斯散度定理,矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分,例1-3,在矢量场 中，有一个边长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，试求矢量场A的散度；从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。,解：,例1-3（续）,可见，从单位立方体内穿出的通量为2，且有,6.环量,环量（circulation）的定义,矢量的环量也是一数量 如果环量0，则在l内必然有产生这种场的旋涡源； 如果环量=0，则我们说在l内没有旋涡源。,矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样都是描绘 矢量场性质的重要物理量，它同样是一个积分量。,7. 环量面密度,环量面密度,若极限存在，则称它为矢量场在点P 处沿方向n的环量面密度。,必存在某一 固定矢量R， 这个固定矢量 在任意面元方向 上的投影就给 出该方向上的 环量面密度！,若面元与旋涡面间有一夹角，环量面密度总是小于最大值； 若面元与旋涡面的方向重合，则环量面密度最大； 若面元与旋涡面相垂直，则环量面密度等于零。,8. 旋度(curl 或rotation),矢量R称为矢量A的旋度,在点P处沿n方向的环量面密度与旋度的关系,在直角坐标系中，旋度的表达式,矢量场的旋度仍为矢量,讨论,矢量场的旋度表示该矢量每单位面积的环量， 它描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。,若rotA0 ，则该矢量场是有旋的 （rotational）,若rotA=0，则称 此矢量场是无旋的 (irrotational) 或保守的场 (conservative),旋度的一个重要性质：旋度的散度恒等于零!,龙卷风的旋度,9.斯托克斯定理(Stokes theorem),它表明矢量场A的旋度围绕此面积曲线边界的线积分等于该矢量沿曲面法向分量的面积分,例1-4,已知一矢量场,求该矢量场的旋度 求该矢量沿如图所示的半径为3的 四分之一圆盘的线积分，验证斯托克斯定理。,解：,例1-4（续）,矢量沿四分之一圆盘的线积分,显然，有,讨论,矢量场的性质可以用其散度和旋度来表征，散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律，旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。 如果矢量场的散度为零，则该矢量场是连续的或无散的（螺线管式）；如果矢量场的旋度等于零，则称此矢量场是无旋的或保守的。,矢量场的散度等于零,该矢量可以用另一个矢量的旋度来表示,1.4 标量场(scalar field),一个仅用其大小就可以完整表征的场称为标量场,本节要点,等值面,方向导数,梯度,梯度的积分,1. 等值面,例如，根据地形图上等高线及其所标出的高度，我们就能了解到该地区的高低情况，根据等高线分布的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度。,称为标量场u的等值面，随着C的 取值不同，得到一系列不同的等值面.,二维等高线和三维等值面,标量场在不同方向上的变化率一般说来是不同的,2. 方向导数(directional derivative),方向导数,在直角坐标系中,如果上式的极限存在，则称它为 函数在点P0处沿l方向的方向导数,标量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。,3. 梯度（gradient）,方向导数等于梯度在该方向上的投影即,梯度的旋度恒等于零,如果一个矢量场满足F =0，即是一个无旋场，则该矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示，即F = u,梯度就是变化率最大方向上的方向导数 。,梯度的性质,4. 梯度的积分,如在静电场中，已知电场强度，就可求得电位函数（第二章介绍）,由斯托克斯定理，无旋场沿闭合路径的积分必然为零,P2点为任意动点，则 P2点的函数值可表示为,沿闭合路径的积分为零等价于积分与路径无关，仅与始点和终点的位置有关,假如选定始点P1为不动的固定点（参考点）,结论,一个标量场，求其梯度得到的矢量场一定为无旋场； 无旋场沿闭合路径的积分一定等于零，或者说积分与路径无关； 无旋场可以用一个标量函数的梯度来表示。 无旋场也称为保守场或有势场。,1.5 亥姆霍兹定理,矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场的重要量度，亥姆霍兹定理(Helmholtz theorem)是矢量场共同性质的总结。,本节要点,亥姆霍兹定理,