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,第二章 2.2.2 椭圆的简单几何性质,第2课时 椭圆的几何性质及应用,学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆的位置关系等知识. 3.会判断直线与椭圆的位置关系.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 点与椭圆的位置关系,思考 类比点与圆的位置关系的判定,你能给出点P(x0,y0)与椭圆,知识点二 直线与椭圆的位置关系,思考 类比直线与圆的位置关系,给出直线与椭圆的位置关系.,答案 有三种位置关系:相离、相切和相交.,梳理 判断直线和椭圆位置关系的方法,消去y,得关于x的一元二次方程.,当0时,方程有 ,直线与椭圆 ; 当0时,方程有 ,直线与椭圆 ; 当0时,方程 ,直线与椭圆 .,两个相同解,相离,相交,两个不同解,无解,相切,知识点三 弦长公式,设直线l:ykxm(k0,m为常数)与椭圆 (ab0)相交,两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦,线段AB的长度叫做 .弦长公式:|AB| ,其中 x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.,弦长,思考辨析 判断正误 (1)若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.( ),题型探究,命题角度1 点与椭圆位置关系的判断,类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断,_.,答案,解析,引申探究 若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?,答案,解析,反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.,A.点(3,2)不在椭圆上 B.点(3,2)不在椭圆上 C.点(3,2)在椭圆上 D.以上都不正确,答案,解析,解答,得5x28mx4m240, (8m)245(4m24)16(5m2).,命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断,反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时,准确计算出判别式是解题关键.,解答,直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于,类型二 弦长问题,例3 已知椭圆4x25y220的一个焦点为F,过点F且倾斜角为45的直线l交椭圆于A,B两点,求弦长|AB|.,解答,直线l的方程为yx1(不失一般性,设l过左焦点).,设A(x1,y1),B(x2,y2),,反思与感悟 求解弦长时,需正确记忆公式内容,其次,准确得到x1x2和x1x2的值.,解答,与x2y80联立消去y, 得2x216x64a20,由0,得a232,,a236,b29,,椭圆方程为x24y2a2,,例4 已知椭圆4x2y21及直线yxm. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;,类型三 椭圆中的最值(或范围)问题,解答,消去y,得5x22mxm210, 因为直线与椭圆有公共点, 所以4m220(m21)0,,(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.,解 设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由(1)知,5x22mxm210,,所以当m0时,|AB|最大,此时直线方程为yx.,解答,反思与感悟 求最值问题的基本策略 (1)求解形如|PA|PB|的最值问题,一般通过椭圆的定义把折线转化为直线,当且仅当三点共线时|PA|PB|取得最值. (2)求解形如|PA|的最值问题,一般通过二次函数的最值求解,此时一定要注意自变量的取值范围. (3)求解形如axby的最值问题,一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决. (4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.,解答,连接PA(如图),,达标检测,答案,解析,1.若直线l:2xby30过椭圆C:10x2y210的一个焦点,则b的值是,1,2,3,4,5,答案,解析,2.已知椭圆的方程是x22y240,则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是 A.x2y30 B.2xy30 C.x2y30 D.2xy30,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 由题意易知所求直线的斜率存在, 设过点M(1,1)的直线方程为yk(x1)1,即ykx1k.,得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20,,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,4.已知以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x y40有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为_.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.,规律与方法,(3)共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设其一交点为A(x,y),则另一交点为B(2x0x,2y0y),,两式作差即得所求直线方程.,
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