- 1 - 成都龙泉中学成都龙泉中学 20162016 级高三上学期入学考试试题级高三上学期入学考试试题 数学（理工类）数学（理工类） （考试用时：（考试用时：120120 分分 全卷满分：全卷满分：150150 分分 ） 注意事项： 1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴 在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写 在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将答题卡上交； 第第 卷（选择题部分，共卷（选择题部分，共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1.若集合 A=y|y=2x+2，B=x|x2+x+20，则 AAB BAB=R CAB=2 DAB= 2.若复数满足，其中 是虚数单位，则复数的共轭复数为z i 1 i z z iz A. B. （C） （D） 11 i 22 11 i 22 11 i 22 11 i 22 3.已知命题 p：x0R，使 2x02x01；命题q：xR，都有 lg(x22x3)0.下列结 论中正确的是 A.命题“pq”是真命题 B.命题“pq”是真命题 C.命题“pq”是真命题 D.命题“pq”是假命题 4已知，则 1 sin() 33 sin(2 ) 6 A B 7 9 7 9 C D 7 9 2 9 5已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，则 F 2 4yx,MN6MFNF - 2 - 的 MN 中点到准线的距离为 A B2 3 2 C3 D4 6.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为 A2B4 C52D524 7.有一长、宽分别为、的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在50m30m 池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出 ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是15 2m A B 3 4 3 8 C D 3 16 123 32 8若，则大小关系为 10 1 ( ) 2 a 1 2 1 ( ) 5 b 1 5 log 10c , ,a b c A B abcacb C Dcbabac 9.若 f(x)= 是 R 上的单调递增函数,则实数 a的取值范围为 (1), 421 2 x ax a xx - 3 - A. (1,+) B. (4,8) C. 4,8) D. (1,8) 10.已知是定义在上的奇函数，满足, 且当时，( )f xR( )(2)0f xfx0,1)x ,则函数在区间上的零点个数是( )ln() 1 x x f xe x 1 ( )( ) 3 g xf xx 6,6 A.4 B.5 C.6 D.7 11.已知是非零向量，它们之间有如下一种运算：，其中, a b r r sin,aba ba b rrr rr r 表示的夹角下列命题中真命题的个数是, a b r r , a b r r ；abba rrrr ()()abab rrrr ()abcacbc rrrrrrr ；若，则，ababa b rrrrr r 1122 ( ,),(,)ax ybxy rr 1221 abx yx y rr A2 B3 C4 D5 12. 已知双曲线与函数的图象交于点，若函数 22 22 1(0,0) xy ab ab (0)yx x P 在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是 yx P ( 1,0)F A B 51 2 53 2 C D 31 2 3 2 第第卷（非选择题部分，共卷（非选择题部分，共 9090 分）分） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 题，每小题题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13.若数列满足，且，则_ n a 2 1 1 ()()lg(1) nnn n aaann n 1 1a 100 a 14已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于 103 的概率是 2,30xx - 4 - 15错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 2 2 12 1 4 e dxx dx x 16.在中，为上一点，且，为的角平分线，则ABCDAC2AD 1DC BDABC 面积的最大值为 ABC 三、解答题三、解答题: :（本题包括本题包括 6 6 小小题，题，共共 7070 分。要求写出证明过程或演算步骤）分。要求写出证明过程或演算步骤） 17 （本题满分 12 分） 已知各项均不相等的等差数列满足，且成等比数 n a 1 1a 125 ,a a a 列 （1）求的通项公式； n a （2）若，求数列的前项和 * 1 1 ( 1)() n nn n nn aa bnN a a n bn n S 18.（本小题满分 12 分） 某校高三有 500 名学生，在一次考试的英语成绩服从正态分布，数学成 2 (100,17.5 )N 绩的频率分布直方图如下： （）如果成绩大于 135 的为特别优秀，则本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少 - 5 - 人？ （）试问本次考试英语和数学的成绩哪个较高，并说明理由. （）如果英语和数学两科都特别优秀的共有 6 人，从（）中的这些同学中随机抽取 3 人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望。 参考公式及数据： 若，则， 2 ( ,)XN ()0.68Px ，.(22 )0.96Px(33 )0.99Px 19.（本题满分 12 分）如图，在三棱柱中，顶点在底面 111 ABCABCABAC 1 A 上的射影恰为的中点，ABCACM2ABAC 1 3AA （1）证明：； 1 ABCC （2）若点为的中点，求二面角的余弦值P 11 BC 1 PABA 20.（本题满分 12 分）已知 A，B，C 为椭圆 E: 上三个不同的点，0 为坐标原点，1 2 2 2 y x 若 O 为ABC 的重心。 (1)如果直线 AB、0C 的斜率都存在，求证为定值； OCABk k (2)试判断ABC 的面积是否为定值，如果是就求出这个定值， 否则请说明理由。 - 6 - 21. （本题满分 12 分）已知函数. 3h xx （1）若对任意的恒成立，求实数的最小值； 2h xxn0x n （2）若函数，求函数的值域. 3 5,03 2 ,3 x f xx x x g xf xh x 22.（本题满分 10 分）在平面直角坐标系中，斜率为 1 的直线 过定点（2，4） ，以xoyl O 为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为xC .0cos4sin 2 （1）求曲线的直角坐标方程以及直线 的参数方程；Cl （2）直线 与曲线相交于 M，N 两点，若 P（2，4） ，求|PM|+|PN|的值lC - 7 - 成都龙成都龙泉中学泉中学 20162016 级高三上学期入学考试试题级高三上学期入学考试试题 数学（理工类）参考答案数学（理工类）参考答案 15 DBABC 610 CBDCB 1112 BA 13. 14 15. 16.300 9 14 3 17.【解析】 （）设等差数列的公差为，由题意得，即， n ad 2 215 aa a 2 (1)14dd 解得或（舍） ，所以. 2d 0d 21 n an （）由，可得21 n an ， 1 1 411 ( 1)( 1)( 1) () (21)(21)2121 nnn nn n nn aan b a annnn 当为偶数时，n . 111111112 ( 1)()()()1 3355721212121 n n S nnnn L 当为奇数时，为偶数，于是n1n . 1111111122 ( 1)()()()1 3355721212121 n n S nnnn L 18.解：（1）英语成绩服从正态分布,Q 2 (100,17.5 )N 英语成绩特别优秀的概率为 1 1 (135)(1 0.96)0.02 2 PP X 数学成绩特别优秀的概率为, 2 3 0.00160.024 4 P 英语成绩特别优秀的同学有人，500 0.0210 数学成绩特别优秀的同学有人. 4 分500 0.02412 （2）英语的平均成绩为 100 分，数学的平均成绩为 60 0.1680 0.168100 48 120 0.16 140 0.03294.72 因为，94.72100 所以英语的平均成绩更高. 6 分 （3）英语和数学都特别优秀的有 6 人，单科优秀的有 10 人，可取得值有 0,1,2,3， ； ； 3 10 3 16 3 (0) 14 C P C 21 106 3 16 27 (1) 56 C C P C - 8 - ； 12 106 3 16 15 (2) 56 C C P C 3 6 3 16 1 (3) 28 C P C 故的分布列为： 0123 P 3 14 27 56 15 56 1 28 的数学期望为（人） 3271519 ( )0123 145656288 E 或：因服从超几何分布，所以 12 分 3 69 ( ) 168 E 19 （1）证明：因为顶点 1 A在底面ABC上的射影恰为AC的中点M， 所以，又，所以， 1 AMABC 平面ABABC 平面 1 AMAB 又因为ABAC