第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形,中考数学 (安徽专用),A组 20142018年安徽中考题组,五年中考,1.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足 PAB=PBC.则线段CP长的最小值为 ( )A. B.2 C. D.,思路分析 由PAB=PBC,PBC+ABP=90,可得P=90,取AB的中点O,则OP= AB=3 为定值,所以O,P,C三点共线时CP的长最小.,答案 B PAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中 点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB= AB=3,BC=4, OC= =5,又OP= AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,解题关键 想到P在以AB为直径的圆上运动,由此将问题转化为O,P,C三点的共线问题是解题 的关键.,2.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为 BD的中点,CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM.,图1 图2,解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM= BD. 又DEAB,同理,EM= BD, CM=EM. (4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100. (9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM, DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, = , 又NM= CM= EM= AE, FN=FM+NM= EF+ AE= (AE+EF)= AF. = = . 又AFN=EFM, AFNEFM,NAF=MEF, ANEM. (14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA= MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM= (180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM. (14分),思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角 互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME= DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推 出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角 形30角所对直角边等于斜边的一半可得 = ,又点N是CM的中点,可推出 = ,从而可证 AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM 的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,3.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜 边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中 点. (1)求证:PCEEDQ; (2)延长PC,QD交于点R. 如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形; 如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和 的值.,解析 (1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点, DEOC,CEOD.四边形ODEC为平行四边形. OCE=ODE. 又OAP,OBQ都是等腰直角三角形, PCO=QDO=90. PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ. 又PC= AO=CO=ED,CE=OD= OB=DQ, PCEEDQ. (5分) (2)证明:如图,连接OR.PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线,AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD. 在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150, CRD=30. ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60. ABR为等边三角形. (9分) 如图,由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE.又AOED,CED=ACE. PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90, 即PEQ为等腰直角三角形. 由于ARBPEQ,所以ARB=90.,于是在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,CRD= ARB=45,MON=135. 此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,所以AB=2PE=2 PQ= PQ,则 = . (14分),思路分析 (1)先证四边形ODEC为平行四边形得OCE=ODE,再根据OAP,OBQ都是 等腰直角三角形证明PCE=EDQ,结合已知可证PCEEDQ;(2)连接OR,由PR与QR 分别为线段OA与OB的中垂线及MON=150,可得AR=BR,ARB=2CRD=60,即ABR为等 边三角形;利用(1)的结论及已知可得出PEQ为等腰直角三角形,由ARBPEQ可得 ARB=90,进一步得出CRD=45,从而得出MON=135,并说明P,O,B在一条直线上,PAB为 直角三角形且APB为直角,由此得出AB= PQ,进而求解.,考点一 等腰三角形,B组 20142018年全国中考题组,1.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和 E,B=60,C=25,则BAD为 ( )A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=1 80-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,2.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 A 如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除 外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长 为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有 两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.,3.(2015陕西,6,3分)如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分线.若在边AB上截 取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有 ( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,答案 D 依题意,可知题图中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB为等腰三角形,则共有5 个等腰三角形.故选D.,4.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .,答案 80,解析 等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为80.,5.(2018吉林,14,3分)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 “特征值”,记作k.若k= ,则该等腰三角形的顶角为 度.,答案 36,解析 设等腰三角形的顶角为x度,则一个底角的度数为2x度,由x+22x=180x=36.故顶角为3 6度.,思路分析 设出顶角度数,根据“特征值”可知底角度数,再由三角形内角和定理即可求得.,6.(2016吉林,12,3分)如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两 弧相交于C,D两点,作直线CD交AB于点E.在直线CD上任取一点F,连接FA,FB.若FA=5,则FB= .,答案 5,解析 由题意可知EF垂直平分AB,所以FB=FA=5.,7.(2015浙江绍兴,13,5分)由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设 计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm. 若衣架收拢时,AOB=60,如图2,则此时A,B两点间的距离是 cm.,答案 18,解析 连接AB.因为OA=OB=18 cm,收拢后的AOB=60,所以AOB是正三角形,故AB=18 cm.,8.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离 与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线, AD= AC,AE= AB, AD=AE, 又A=A, ABDACE, BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD =CE,故可证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相 等可知四边形DEMN为正方形.,9.(2016宁夏,21,6分)在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DEAB,过点 E作EFDE,交BC的延长线于点F.求EF的长.,解析 ABC为等边三角形, A=B=ACB=60, DEAB, EDF=B=60,DEC=A=60, CDE为等边三角形, DE=CD=2. (4分) EFDE,DEF=90, 在RtDEF中,EF=DEtan 60=2 . (6分),1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中 线,AD=2,CE=5,则CD= ( )A.2 B.3 C.4 D.2,考点二 直角三角形,答案 C 在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8, 易证ACDCBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.,2.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与 点A重合,点C落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为 ( )A.3 B.6 C.3 D.,