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第一章 事件与概率1、对一个五人学习小组考虑生日问题: (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概 率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解解】 (1) 设 A1=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为 75,有利事件仅 1 个,故P(A1)=()5 51 71 7 (2) 设 A2=五个人生日都不在星期日,有利事件数为 65,故P(A2)=()5556 76 7(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P(A3)=1P(A1)=1()51 7 2、一架升降机开始时有 6 位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1) A=“某指定的一层有两位乘客离开” ; (2) B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开” ; (3) C=“恰有两位乘客在同一层离开” ; (4) D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 【解解】 由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离开,故所有可能结果为 106种.(1) 24 6 6C 9( )10P A (2) 6 个人在十层中任意六层离开,故6 10 6P( )10P B (3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有种可能结果,再1 10C从六人中选二人在该层离开,有种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开2 6C的情况,因此可包含以下三种离开方式:4 人中有 3 个人在同一层离开,另一人在其余 8 层中任一层离开,共有种可能结果;4 人同时离开,有种可131 948C C C1 9C能结果;4 个人都不在同一层离开,有种可能结果,故4 9P12131146 10694899( )C C (C C CCP )/10P C (4) D=.故B6 10 6P()1( )110P DP B 3、两人约定上午 9001000 在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.【解解】设两人到达时刻为 x,y,则 0x,y60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于 |xy|30.如图阴影部分所示.22301 604P 4、一个袋内装有大小相同的 7 个球,其中 4 个是白球,3 个是黑球,从中一次抽取 3 个, 计算至少有两个是白球的概率. 【解解】 设 Ai=恰有 i 个白球(i=2,3) ,显然 A2与 A3互斥.213 434 2333 77C CC184(),()C35C35P AP A故 232322()()()35P AAP AP A5、设 A,B,C 为三事件,且 P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3 且 P(AB)=P(BC) =0,P(AC)=1/12,求 A,B,C 至少有一事件发生的概率. 【解解】 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=+=1 41 41 31 123 46、对任意的随机事件 A,B,C,试证 P(AB)+P(AC)P(BC)P(A).【证证】 ( ) ()()P AP A BCP ABAC()()()P ABP ACP ABC()()()P ABP ACP BC7、证明:域之交仍为域。证证:设是域,记.)(TtFtt t TFF(i) 每一,所以,即.tF TttFF(ii) ,则每一,由是域得每一,所以,从而FAAtFtFAtFt t TAF.FA(iii) ,则诸必属于每一,由于是域,所以每一,FiAi), 2 , 1(tAtFtF iiA tF即.FFAtTtii 是域。F第二章 条件概率与统计独立性1、某地某天下雪的概率为 0.3,下雨的概率为 0.5,既下雪又下雨的概率为 0.1,求: (1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率. 【解解】 设 A=下雨,B=下雪.(1) ()0.1()0.2( )0.5P ABP B AP A(2) ()( )( )()0.30.50.10.7P ABP AP BP AB2、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7,若只有一人 击中,则飞机被击落的概率为 0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为 0.6;若三 人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解解】设 A=飞机被击落,Bi=恰有 i 人击中飞机,i=0,1,2,3 由全概率公式,得30( )(|) ()ii iP AP A B P B=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+ (0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7 =0.458 3、按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有 90%的可能考试及格,不努力学习的 学生有 90%的可能考试不及格.据调查,学生中有 80%的人是努力学习的,试问: (1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解解】设 A=被调查学生是努力学习的,则=被调查学生是不努力学习的.由题意知AP(A)=0.8,P()=0.2,又设 B=被调查学生考试及格.由题意知 P(B|A)A=0.9,P(|)=0.9,故由贝叶斯公式知B A(1)( ) ()()()( )( ) ()( ) ()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A P B A 0.2 0.110.027020.8 0.90.2 0.137 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%(2) ( ) ()()()( )( ) ()( ) ()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A P B A 0.8 0.140.30770.8 0.1 0.2 0.913 即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. 4、设两两相互独立的三事件,A,B 和 C 满足条件: ABC=,P(A)=P(B)=P(C)2 时,F(x)=P(X0)=1,故 01e2X1,即 P(0Y1)=1 当 y0 时,FY(y)=0 当 y1 时,FY(y)=1当 0y1 时,2( )()(e1)x YFyP YyPy 1ln(1)22 01(ln(1)22edyxP Xyxy 即 Y 的密度函数为1,01( )0,Yyfy 其他即 YU(0,1) 6、设 X,Y 是相互独立的随机变量,其分布律分别为 PX=k=p(k) ,k=0,1,2, PY=r=q(r) ,r=0,1,2,. 证明随机变量 Z=X+Y 的分布律为PZ=i=,i=0,1,2,. ikkiqkp0)()(【证明证明】因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数, 所以ZiXYi0,1,1,0XYiXYiXi Y 于是 0,ikP ZiP Xk Yik X Y 相互独立0ikP XkP Yik A0( ) ()ikp k q ik第四章 数字特征与特征函数1、设随机变量 X 的概率密度为f(x)= ., 0, 21,2, 10,他他xxxx求 E(X) ,D(X).【解解】12201()( )dd(2)dE Xxf xxxxxxx213 320111.33xxx122232017()( )dd(2)d6E Xx f xxxxxxx故 221()() ().6D XE XE X2、设随机变量 X 的概率密度为f(x)= ., 0,0,2cos21他他xx对 X 独立地重复观察 4 次,用 Y 表示观察值大于 /3 的次数,求 Y2的数学期望。【解解】令 1,3(1,2,3,4)0,3iX Yi X.则.因为41(4, )i iYYBp及,133pP XP X /3011cosd3222xP Xx所以111( ),( ),( )42,242iiE YD YE Y,2211( )41()()22D YE YEY 从而222()( ) ( )125.E YD YE Y 3、设两个随机变量 X,Y 相互独立,且都服从均值为 0,方差为 1/2 的正态分布,求随机 变量|XY|的方差. 【解解】设 Z=XY,由于22110,0,22XNYN且 X 和 Y 相互独立,故 ZN(0,1). 因22()()(| ) (|)D XYD ZE ZE Z22() ( ) ,E ZE Z而22/21()( )1,(|)|ed2zE ZD ZE Zzz,2/2022ed2zzz所以 .2(|)1DXY 4、试求均匀分布的特征函数。0,1解:解:。当时;当时1,0,1( )0,0,1xpxx0t ( )1f t 0t .110011( )(1)itxitxitf te dxeeitit5、设随机变量 X 的概率密度为fX(x)=., 0, 20,41, 01,21他他xx令 Y=X2,F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,求: (1) Y 的概率密度 fY(y); (2) Cov(X,Y);(3). 1(,4)2F 解解: (1) Y 的分布函数为.2( )YFyP YyP Xy当 y0 时, ,;( )0YFy ( )0Yfy 当 0y1 时,3( )004YFyPyXyPyXPXyy;3( )8Yfyy当 1y4 时, 11( ) 10024YFyPXPXyy ;1( )8Yfyy当 y4 时,.( )1YFy ( )0Yfy 故 Y 的概率密度为 3,01,81( )0,14,80,.Yyyfyyy 其他(2) ,0210111()( )ddd244+XE X =xfx xx xx x-,02222210115( )()( )ddd)246+XE Y =E X=x fx xxxxx-,02233310117()()( )ddd248+XE XY =E Y=x fx xxxxx-故 Cov(X,Y) =.2()()( )3E XYE XE Y =-(3) 2111(,4),4,4222FP XYP XX 11, 22 222P XXPX
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