3 函数的单调性(二),第二章 函 数,学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.会借助单调性求最值. 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数的最大(小)值,思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？,答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.,梳理 对于函数yf(x)，其定义域为D，如果存在x0D，f(x)M，使得对于任意的xD，都有f(x)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值，即当xx0时，f(x0)是函数yf(x)的最大值，记作ymaxf(x0).,知识点二 函数的最大(小)值的几何意义,思考 函数yx2，x1,1的图像如图所示：,试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.,答案 x1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点.,梳理 一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个.,思考辨析 判断正误 1.因为f(x)x210恒成立，所以f(x)的最小值为0.( ) 2.f(x) (x0)的最小值为0.( ) 3.函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个.( ) 4.如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为m，M. ( ),题型探究,类型一 借助单调性求最值,解答,解 设x1，x2是区间(0，)上的任意两个实数，且x10，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)在1，)上递减.,反思与感悟 (1)若函数yf(x)在区间a，b上递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数yf(x)在区间a，b上递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). (3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.,解答,解 设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x10， 于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).,即在x2时取得最大值，最大值是2，,类型二 求二次函数的最值,例2 (1)已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值；,解答,解 函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1， f(x)在0,1上递减，在1,2上递增，且f(0)f(2). f(x)maxf(0)f(2)3， f(x)minf(1)4.,(2)已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值；,解答,解 对称轴x1， 当1t2即t1时， f(x)maxf(t)t22t3， f(x)minf(t2)t22t3.,f(x)maxf(t)t22t3， f(x)minf(1)4.,f(x)maxf(t2)t22t3， f(x)minf(1)4. 当11时， f(x)maxf(t2)t22t3， f(x)minf(t)t22t3. 设函数最大值为g(t)，最小值为(t)，则有,解答,由(1)知yt22t3(t0)在0,1上递减，在1，)上递增. 当t1即x1时，f(x)min4，无最大值.,反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素. (2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.,跟踪训练2 (1)已知函数f(x)x42x23，求函数f(x)的最值；,解答,解 设x2t(t0)，则x42x23t22t3. yt22t3(t0)在0,1上递减，在1，)上递增. 当t1即x1时，f(x)min4，无最大值.,(2)求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值；,解 函数图像的对称轴是xa， 当a4时，f(x)在2,4上是减函数， f(x)minf(4)188a. 当2a4时，f(x)minf(a)2a2.,解答,(3)求函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值.,解 f(x)x24x4(x2)28. 设f(x)在t，t1上的最小值为g(t). 当t2时，f(x)在t，t1上是增函数， g(t)f(t)t24t4； 当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8； 当t12即t0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围.,解答,类型四 函数最值的应用,解 方法一 令yx2xa，,方法二 x2xa0可化为ax2x. 要使ax2x对任意x(0，)恒成立， 只需a(x2x)max，,引申探究,解答,反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意xD，f(x)a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)mina来解决.任意xD，f(x)a恒成立f(x)maxa.,跟踪训练4 已知ax2x1对任意x(0,1恒成立，求实数a的取值范围.,解答,a0. a的取值范围是(，0.,达标检测,答案,1,2,3,4,5,2.函数f(x) 在1，)上 A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值,1,2,3,4,5,答案,3.函数f(x)x2，x2,1的最大值、最小值分别为 A.4,1 B.4,0 C.1,0 D.以上都不对,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,答案,A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对,1,2,3,4,5,答案,1.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a). 2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.,规律与方法,