1 第一章第一章 数制和码制数制和码制 本章教学目的、要求： 1掌握二进制、八进制、十进制、十六进制及其相互转换。 2掌握原码、反码、补码的概念及转换，了解二进制补码的运算。 3理解常用 8421BCD 码和可靠性代码。 重点：不同进制数间的转换。 难点：补码的概念及二进制补码的运算。 第一节第一节 概述概述 (一)数字量与模拟量 数字量：物理量的变化在时间上和数量上都是离散的。它们数值的大小和每次变 化的增减变化都是某一个最小数量单位的整数倍，而小于这个最小数量单位的数值没 有任何物理意义。 例如：统计通过某一个桥梁的汽车数量，得到的就是一个数字量，最小数量单位 的“1”代表“一辆”汽车，小于 1 的数值已经没有任何物理意义。 数字信号：表示数字量的信号。如矩形脉冲。 数字电路：工作在数字信号下的电子电路。 模拟量：物理量的变化在时间上和数值上都是连续的。 例如：热电偶工作时输出的电压或电流信号就是一种模拟信号， 因为被测的温度不可能发生突跳，所以测得的电压或电流无论在时间上还是在数 量上都是连续的。 模拟信号：表示模拟量的信号。如正弦信号。 模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路。 这个信号在连续变化过程中的任何一个取值都有具体的物理意义，即表示一个相 应的温度。 (二)数字信号的一些特点 数字信号通常都是以数码形式给出的。 不同的数码不仅可以用来表示数量的不同大小，而且可以用来表示不同的事物或 事物的不同状态。 t u u t 2 第二节第二节 几种常用的数制几种常用的数制 数制：把多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为数制。 在数字电路中经常使用的计数进制有十进制、二进制和十六进制。有时也用到八 进制。 一、十进制数一、十进制数(Decimal) 十进制是日常生活中最常使用的进位计数制。在十进制数中，每一位有 09 十个 数码，所以计数的基数是 10。超过 9 的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之 间的进位关系是“逢十进一” 。 任意十进制数 D 的展开式： i i kD10 ki是第 i 位的系数，可以是 09 中的任何一个。 例：将十进制数 12.56 展开为： 2101 10610510210156.12 二、二进制数（二、二进制数（Binary） 二进制数的进位规则是“逢二进一”，其进位基数 R=2， 每位数码的取值只能是 0 或 1，每位的权是 2 的幂。 任何一个二进制数，可表示为： i i kD2 例如： 三、八进制数三、八进制数(Octal) 八进制数的进位规则是“逢八进一”，其基数 R=8，采用的数码是 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7， 每位的权是 8 的幂。 任何一个八进制数也可以表示为： i i kD8 例如： 四、十六进制数四、十六进制数(Hexadecimal) 十六进制数的特点是： 采用的 16 个数码为 0、 1、 2、 、 9、 A、 B、 C、 D、 E、 F。 符号 AF 分别代表十进制数的 1015。 进位规则是“逢十六进一”，基数 R=16，每位的权是 16 的幂。 任何一个十六进制数， 可以表示为： i i kD16 例如： 10 3210123 2 )375.11( 21212021212021)011.1011( 10 1012 8 ) 5 . 254(5 . 0687643 84868783) 4 . 376( 10 21012 16 )0664.939(16116116111610163)113( AB 3 任意 N 进制数展开式的普遍形式： i iN kD 其中 ki 是第 i 位的系数；ki 可以是 0 N-1 中的任何一个；N 称为计数的基数； Ni 称为第 i 位的权。 五、不同进制数的对照表五、不同进制数的对照表 十进制二进制八进制十六进制 000000000 010001011 020010022 030011033 040100044 050101055 060110066 070111077 081000108 091001119 10101012A 11101113B 12110014C 13110115D 14111016E 15111117F 第三节第三节 不同数制间的转换不同数制间的转换 一、二一、二十转换十转换 二进制数转换成十进制数时，只要将二进制数按权展开，然后将各项数值按十进 制数相加，便可得到等值的十进制数。例如： 同理，若将任意进制数转换为十进制数，只需将数(N)R写成按权展开的多项式表 示式，并按十进制规则进行运算， 便可求得相应的十进制数(N)10。 二、十二、十二转换二转换 整数转换除 2 取余法。 10 21124 2 )75.22(2121212121)11.10110( 4 例如：将(57)10转换为二进制数： 小数转换乘 2 取整法。 例如：将(0.724)10转换成二进制小数。 可见，小数部分乘 2 取整的过程，不一定能使最后乘积为 0，因此转换值存在误差。 通常在二进制小数的精度已达到预定的要求时，运算便可结束。 将一个带有整数和小数的十进制数转换成二进制数时，必须将整数部分和小数部 分分别按除 2 取余法和乘 2 取整法进行转换，然后再将两者的转换结果合并起来即可。 同理，若将十进制数转换成任意 R 进制数(N)R，则整数部分转换采用除 R 取余法； 小数部分转换采用乘 R 取整法。 三、二进制数与八进制数、十六进制数之间的相互转换三、二进制数与八进制数、十六进制数之间的相互转换 八进制数和十六进制数的基数分别为 8=23，16=24， 所以三位二进制数恰好相当 一位八进制数，四位二进制数相当一位十六进制数，它们之间的相互转换是很方便的。 二进制数转换成八进制数的方法是从小数点开始，分别向左、向右，将二进制数 按每三位一组分组(不足三位的补 0)，然后写出每一组等值的八进制数。 例如，求(01101111010.1011)2的等值八进制数： 二进制 001 101 111 010 101 100 二进制数转换成十六进制数的方法和二进制数与八进制数的转换相似，从小数点 开始分别向左、向右将二进制数按每四位一组分组(不足四位补 0)，然后写出每一组等 值的十六进制数。 八进制 1 5 7 2 . 5 4 二进制 001 101 111 010 101 100 所以 (01101111010.1011)2=(1572.54) 8 5 例如，将(1101101011.101)转换为十六进制数： 八进制数、十六进制数转换为二进制数的方法可以采用与前面相反的步骤，即只 要按原来顺序将每一位八进制数(或十六进制数)用相应的三位(或四位)二进制数代替即 可。 例如，分别求出(375.46)8、(678.A5)16的等值二进制数： 二进制 011 111 101 . 100 110 二进制 0110 0111 1000.1010 0101 所以 (375.46)8=(011111101.100110)2, (678.A5)16=(011001111000.10100101)2 第四节第四节 二进制算数运算二进制算数运算 算术运算：当两个数码分别表示两个数量大小时，它们可以进行数量间的加、减、 乘、除等运算。这种运算称为算术运算。 一、二进制算数运算的特点：逢二进一一、二进制算数运算的特点：逢二进一 二进制算术运算的两个特点： 二进制的乘法运算可以通过若干次的“被乘数（或 0）左移 1 位”和“被乘数（或 0）与部分积相加”这两种操作完成； 二进制数的除法运算能通过若干次的“除数右移 1 位”和“从被除数或余数中减 去除数”这两种操作完成。 二、原码、反码和补码和补码运算二、原码、反码和补码和补码运算 二进制数的正、负表示方法通常采用的是在二进制数的前面增加一位符号位。这 种形式的数称为原码。 原码：符号位为 0 表示这个数是正数，符号位为 1 表示这个数是负数。以下各位 表示数值。 在做减法运算时，如果两个数是用原码表示的，则首先需要比较两数绝对值的大 小，然后以绝对值大的一个作为被减数、绝对值小的一个作为减数，求出差值，并以 绝对值大的一个数的符号作为差值的符号。 这个操作过程比较麻烦，而且需要使用数值比较电路和减法运算电路。 如果用两数的补码相加代替上述减法运算，则计算过程中就无需使用数值比较电 00 11 01 10 10 11 . 10 10 3 6 B . A 所以 (1101101011.101)2=(36B.A)16 6 路和减法运算电路了，从而使减法运算器的电路结构大为简化。 10-5 的减法运算可以用 10+7 的加法运算代替。 因为 5 和 7 相加正好等于产生进位的模数 12，所以称 7 为-5 对模 12 的补数，也 称为补码（complement)。 在舍弃进位的条件下，减去某个数可以用加上它的补码来代替。这个结论同样适 用于二进制数的运算。 1011-0111=0100 的减法运算，在舍弃进位的条件下，可以用 1011+1001=0100 的加 法运算代替。 1001 是 0111 对模 16 的补码。 对于有效数字（不包括符号位）为 n 位的二进制数 N，它的补码(N)COMP 表示方 法为 )(2 )( )( 为负数当 为正数当 NN NN N n COMP 正数的补码与原码相同，负数的补码等于 2n-N 。 7 为避免在求补码的过程中做减法运算，通常是先求出 N 的反码，然后在负数的反 码上加 1 而得到补码。 )(12 )( )( 为负数当 为正数当 NN NN N n INV 反码：正数的反码等于原码，负数的反码：符号位不变，以下各位按位取反。 补码：正数的补码等于原码，负数的补码：符号位不变，以下各位按位取反，加 1。 例 1：写出带符号位二进制数 00011010（+26） 、10011010（-26） 、 00101101（+45） 、和 10101101（-45）的反码和补码。 解： 原码 反码 补码 000110100001101000011010 100110101110010111100110 001011010010110100101101 101011011101001011010011 例 2：用二进制补码运算求出 13+10、13-10、-13+10、-13-10。 解：先分别求出补码，再按补码运算。 注意：注意：在两个同符号数相加时，它们的绝对值之和不可超过有效数字位所能表示 的最大值，否则会得出错误的计算结果。 第五节第五节 几种常用的编码几种常用的编码 不同的数码不仅可以表示数量的大小，而且还可以表示不同事物或事物的不同状 态在用于表示不同事物的情况下，这些数码已经不再具有表示数量大小的含义了，它 们只是不同事物的代号而已。这些数码称为代码。 例如：一位运动员编一个号码。 为了便于记忆和查找，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就称为码制。 + 1 3 0 0 1 1 0 1 + 1 0 0 0 1 0 1 0 + 2 3 0 1 0 1 1 1 + 1 3 0 0 1 1 0 1 - 1 0 1 1 0 1 1 0 + 3 ( 1 ) 0 0 0 0 1 1 - 1 3 1 1 0 0 1 1 + 1 0 0 0 1 0 1 0 - 3 1 1 1 1 0 1 - 1 3 1 1 0 0 1 1 - 1 0 1 1 0 1 1 0 - 2 3 ( 1 ) 1 0 1 0 0 1 8 一、十进制