第 1 页 共 15 页 错位相减法求和专项错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于错位相减法求和适用于anbn 型数列，其中型数列，其中an,bn分别是等差数列和等比数列，在应用过分别是等差数列和等比数列，在应用过 程中要注意：程中要注意： 项的对应需正确；项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为（相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；）项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为 1 1. 已知二次函数已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列，数列的前的前 项和为项和为，点，点均在函数均在函数的图象上的图象上 （）求数列）求数列的通项公式；的通项公式； （）设）设，是数列是数列的前的前项和，求项和，求 解析解析考察专题：考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般；难度：一般 答案答案 （）由于二次函数）由于二次函数的图象经过坐标原点，的图象经过坐标原点， 则设则设， ， ， 又点又点均在函数均在函数的图象上，的图象上， 当当时，时， 又又，适合上式，适合上式， 第 2 页 共 15 页 （7 分）分） （）由（）由（）知，）知， ， ， 上面两式相减得：上面两式相减得： 整理得整理得 （14 分）分） 2.已知数列已知数列的各项均为正数，的各项均为正数，是数列是数列的前的前 n 项和，且项和，且 （1）求数列）求数列的通项公式；的通项公式； （2）的值的值. 答案答案查看解析查看解析 解析解析 （1）当）当 n = 1 时，时，解出解出 a1 = 3, 又又 4Sn = an2 + 2an3 当当时时 4sn 1 = + 2an-13 第 3 页 共 15 页 , 即即， , （） ， 是以是以 3 为首项，为首项，2 为公差的等差数列，为公差的等差数列， 6 分分 （2） 又又 = 12 分分 3.（2013 年四川成都市高新区高三年四川成都市高新区高三 4 月月考，月月考，19,12 分）设函数分）设函数 ，数列，数列前前项和项和，数列，数列 ，满足，满足. （）求数列）求数列的通项公式的通项公式； （）设数列）设数列的前的前项和为项和为，数列，数列的前的前项和为项和为，证明：，证明： . 答案答案 () 由由，得，得 第 4 页 共 15 页 是以是以为公比的等比数列，故为公比的等比数列，故. （）由）由 ，得 得 ， 记记+， 用错位相减法可求得：用错位相减法可求得： . （注：此题用到了不等式：（注：此题用到了不等式：进行放大进行放大. ） 4.已知等差数列已知等差数列中，中，；是是与与的等比中项的等比中项 （）求数列）求数列的通项公式：的通项公式： （）若）若求数列求数列的前的前项和项和 解析解析（）因为数列）因为数列是等差数列，是等差数列，是是与与的等比中项所以的等比中项所以， 又因为又因为，设公差为，设公差为，则，则， 所以所以，解得，解得或或， 当当时时, ，； 当当时，时，. 第 5 页 共 15 页 所以所以或或. （6 分分) （）因为）因为，所以，所以，所以，所以， 所以所以， 所以所以 两式相减得两式相减得， 所以所以. （13 分）分） 5.已知数列已知数列的前的前项和项和，等差数列，等差数列中中 ，且公差，且公差. （）求数列）求数列、的通项公式；的通项公式； （）是否存在正整数）是否存在正整数，使得，使得 若存在，求出若存在，求出的最小值，的最小值， 若不存在，说明理由若不存在，说明理由. 解析解析（）时，时，相减得：相减得： ，又，又， 数列数列是以是以 1 为首项，为首项，3 为公比的等比数列，为公比的等比数列，. 又又，. （6 分）分） （） 第 6 页 共 15 页 令令 得：得： ，即，即，当，当，当，当。 的最小正整数为的最小正整数为 4. （12 分）分） 6. 数列数列满足满足，等比数列，等比数列满足满足. （）求数列）求数列，的通项公式；的通项公式； （）设）设，求数列，求数列的前的前项和项和. 解析解析 （）由）由，所以数列，所以数列是等差数列，又是等差数列，又， 所以所以， 由由，所以，所以，所以，所以，即，即， 所以所以. （6 分分) （）因为）因为，所以，所以， 则则， 所以所以， 第 7 页 共 15 页 两式相减的两式相减的， 所以所以. (12 分）分） 7. 已知数列已知数列满足满足，其中，其中为数列为数列的前的前 项和项和 () 求求的通项公式；的通项公式； () 若数列若数列满足：满足： () ，求，求的前的前 项和公式项和公式. 解析解析) ， 得，得，又，又时，时， . （5 分）分） () ， ， ， 两式相减得两式相减得， . （13 分）分） 8.设设 d 为非零实数为非零实数, an= d+2d2+(n-1) dn-1+ndn(n N*) . () 写出写出 a1, a2, a3并判断并判断an是否为等比数列是否为等比数列. 若是若是, 给出证明给出证明;若不是若不是, 说明理由说明理由; () 设设 bn=ndan(n N*) , 求数列求数列bn的前的前 n 项和项和 Sn. 第 8 页 共 15 页 答案答案 () 由已知可得由已知可得 a1=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d) 2. 当当 n2, k1 时时, =, 因此因此 an=. 由此可见由此可见, 当当 d-1 时时, an是以是以 d 为首项为首项, d+1 为公比的等比数列为公比的等比数列; 当当 d=-1 时时, a1=-1, an=0(n2) , 此时此时an不是等比数列不是等比数列. (7 分分) () 由由() 可知可知, an=d(d+1) n-1, 从而从而 bn=nd2(d+1) n-1, Sn=d21+2(d+1) +3(d+1) 2+(n-1) (d+1) n-2+n(d+1) n-1. 当当 d=-1 时时, Sn=d2=1. 当当 d-1 时时, 式两边同乘式两边同乘 d+1 得得 (d+1) Sn=d2(d+1) +2(d+1) 2+(n-1) (d+1) n-1+n(d+1) n. , 式相减可得式相减可得 -dSn=d21+(d+1) +(d+1) 2+(d+1) n-1-n(d+1) n =d2. 化简即得化简即得 Sn=(d+1) n(nd-1) +1. 综上综上, Sn=(d+1) n(nd-1) +1. (12 分分) 9. 已知数列已知数列an满足满足 a1=0, a2=2, 且对任意且对任意 m, n N*都有都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n) 2. () 求求 a3, a5; () 设设 bn=a2n+1-a2n-1(n N*) , 证明证明:bn是等差数列是等差数列; () 设设 cn=(an+1-an) qn-1(q0, n N*) , 求数列求数列cn的前的前 n 项和项和 Sn. 第 9 页 共 15 页 答案答案 () 由题意由题意, 令令 m=2, n=1 可得可得 a3=2a2-a1+2=6. 再令再令 m=3, n=1 可得可得 a5=2a3-a1+8=20. (2 分分) () 证明证明:当当 n N*时时, 由已知由已知(以以 n+2 代替代替 m) 可得可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8. 于是于是a2(n+1) +1-a2(n+1) -1-(a2n+1-a2n-1) =8, 即即 bn+1-bn=8. 所以所以, 数列数列bn是公差为是公差为 8 的等差数列的等差数列. (5 分分) () 由由() 、() 的解答可知的解答可知bn是首项是首项 b1=a3-a1=6, 公差为公差为 8 的等差数列的等差数列. 则则 bn=8n-2, 即即 a2n+1-a2n-1=8n-2. 另由已知另由已知(令令 m=1) 可得可得, an=-(n-1) 2. 那么那么, an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n. 于是于是, cn=2nqn-1. 当当 q=1 时时, Sn=2+4+6+2n=n(n+1) . 当当 q1 时时, Sn=2q0+4q1+6q2+2nqn-1. 两边同乘两边同乘 q 可得可得 qSn=2q1+4q2+6q3+2(n-1) qn-1+2nqn. 上述两式相减即得上述两式相减即得 (1-q) Sn=2(1+q1+q2+qn-1) -2nqn=2-2nqn=2, 所以所以 Sn=2. 综上所述综上所述, Sn=(12 分分) 10.已知数列已知数列an是公差不为零的等差数列是公差不为零的等差数列,a1=2,且且 a2,a4,a8成等比数列成等比数列. 第 10 页 共 15 页 (1)求数列求数列an的通项公式的通项公式; (2)求数列求数列an的前的前 n 项和项和. 答案答案 (1)设数列设数列an的公差为的公差为 d(d0), 由条件可知由条件可知:(2+3d)2=(2+d)(2+7d),解得解得 d=2.(4 分分) 故数列故数列an的通项公式为的通项公式为 an=2n(n N*).(6 分分) (2)由由(1)知知 an=2n32n,设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn, 则则 Sn=232+434+636+2n32n, 32Sn=234+436+(2n-2) 32n+2n32n+2, 故故-8Sn=2(32+34+36+32n)-2n32n+2,(8 分分) 所以数列所以数列an的前的前 n 项和项和 Sn=.(12 分分) 11.已知等差数列已知等差数列满足满足又数列又数列中中,且且 . (1)求数列求数列,的通项公式的通项公式; (2)若数列若数列,的前的前项和分别是项和分别是,且且求数列求数列的前的前项和项和 ; (3)若若对一切正整数对一切正整数恒成立，求实数恒成立，求实数的取值范围的取值范围. 答案答案( 1)设等差数列设等差数列的公差为的公差为,则有则有 第 11 页 共 15 页 解得解得 ， ， 数列数列是以是以为首项为首项,公比为公比为的等比数列的等比数列. 4 分分 (2)由由(1)可得可得 ， 得得， 10 分分(3) ， 第 12 页 共 15 页 当当时时, 取最小值取最小值, ，即，即， 当当时，时，恒成立；恒成立； 当当时，由时，由，解得，解得 , 即实数即实数的取值范围是的取值范围是. 14 分分 12.设设为数列为数列的前的前项和，对任意的项和，对任意的，都有，都有为常数，为常数， 且且 （1）求证：数列）求