116 届维一思数学开学考模拟试卷答案 一填空题1.已知全集 U=R，集合 A=x|x-2，xR，B=x|x-2，则(A)B=(-2，1).UU答案：(-2，1)2.若 z(1+i)2=2i，则|z|= .【解析】因为 z(1+i)2=z2i=2i，设 z=a+bi(a，bR)，则(a+bi)2i=2i，即-2b+2ai=2i，所以 a=1，b=0，故 z=1.故|z|=1.答案：13.已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为 和 ，若两人各投两次，则两人投中次数相等的概率为 .3 42 3【解析】两人都投中 0 次的概率为=，(1 3 4)(1 3 4)(1 2 3)(1 2 3)1 144两人各投中 1 次的概率为 =，C123 41 4C122 31 324 144两人都投中 2 次的概率为=，(3 4)2(2 3)236 144故两人投中次数相等的概率为+=.1 14424 14436 14461 144答案：61 1444.已知双曲线的标准方程为-y2=1，则它的焦点坐标为 .x2 2【解析】因为 a=，b=1，所以 c=，且焦点在 x 轴上，所以它的焦点坐标是2a2+ 23(，0).3答案：(，0)325. 若 F1，F2分别是椭圆+=1 的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且MF1F2的内切圆的周x2 25y2 16长为 3，则满足条件的点 M 的个数为 .【解题提示】由内切圆的周长为 3 可确定内切圆的半径，然后利用面积相等确定点 M 的纵坐标，进而确定 M 点的个数.【解析】由MF1F2的内切圆的周长为 3 得，内切圆的半径 r= ，3 2所以MF1F2的面积为 (MF1+MF2+F1F2)r= F1F2|yM|，1 21 2即(10+6) =6|yM|，得|yM|=4，3 2所以满足条件的点 M 是短轴的 2 个端点，个数有 2 个.答案：26.设变量 x，y 满足|x|+|y|1，则 2x+y 的最大值和最小值分别为 .【解析】由约束条件|x|+|y|1，作出可行域如图，设 z=2x+y，则 y=-2x+z，平移直线 y=-2x，当经过点 A(1，0)时，z 取得最大值 2，当经过点 B(-1，0)时，z 取得最小值-2.答案：2，-27.若函数 f(x)对任意的 xR 都有 f(x+3)=-f(x+1)，且 f(1)=2013，则 f(f(2013)+2)+1= .【解题提示】由 f(x+3)=-f(x+1)得 f(x+2)=-f(x)，从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，因此函数 f(x)是周期为 4 的函数.【解析】由 f(x+3)=-f(x+1)可知函数 f(x)为周期函数，且周期 T=4，当 x=0 时，f(3)=-f(1)=-2013，f(2013)=f(5034+1)=f(1)=2013，因此 f(f(2013)+2)+1=f(2015)+1=f(3)+1=-2012.答案：-201238. 设命题 p：f(x)，则有 .e2014f(-2014)e2014f(0)；e2014f(-2014)f(0)，f(2014)e2014f(0)；e2014f(-2014)f(0)，f(2014)f(x)，并且 ex0，所以 g(x)g(0)，g(2014)f(0)，2014f( 2014) ef(0)，f(2014)b0)的离心率为 ，右焦点为 F，右顶点 A 在圆 F：(x-1)x22y221 22+y2=r2(r0)上.(1)求椭圆 C 和圆 F 的方程.(2)已知过点 A 的直线l与椭圆 C 交于另一点 B，与圆 F 交于另一点 P.请判断是否存在斜率不为 0 的直线l，使点 P 恰好为线段 AB 的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可得 c=1，又由题意可得 = ，所以 a=2，c 1 2所以 b2=a2-c2=3，所以椭圆 C 的方程为 +=1，x2 4y2 3所以椭圆 C 的右顶点为 A(2，0)，代入圆 F 的方程，可得 r2=1，所以圆 F 的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l：y=k(x-2)(k0)满足条件，由 y = ( 2), 2 4+2 3= 1,?得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设 B(x1，y1)，则 2+x1= ，16242+ 3可得中点 P ，(8242+ 3, 642+ 3)9由点 P 在圆 F 上可得 +=1，(8242+ 3 1)2(- 642+ 3)2化简整理得 k2=0，又因为 k0，所以不存在满足条件的直线 18. (10 分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= 且每处1 33 802+ 5 040, 120,144),1 22 200 + 80 000, 144,500,?理 1 吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获利，国家将给予补偿.(1)当 x200，300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【解析】(1)当 x200，300时，设该项目获利为 S，则 S=200x-(1 22 200 + 80 000)=- x2+400x-800001 2=- (x-400)2，1 2所以当 x200，300时，S1 时，|x+a|=1+a，所以 x=1 或 x=-(1+2a).(3)因为 f(x)-f(x)=(x-1)x-(1-2a)，g(x)=f(),() (), (),() ().?若 a- ，1 2则 x2，4时，f(x)f(x)，所以 g(x)=f(x)=2x+2a.从而 g(x)的最小值为 g(2)=2a+4；若 a- ，3 2则 x2，4时，f(x)f(x)，所以 g(x)=f(x)=x2+2ax+1，当-2a- 时，g(x)的最小值为 g(2)=4a+5；3 2当-4a-2 时，g(x)的最小值为 g(-a)=1-a2；当 a-4 时，g(x)的最小值为 g(4)=8a+17.若- a- ，3 21 2则 x2，4时，g(x)=x2+ 2 + 1, 2,1 2), 2 + 2, 1 2,4,?当 x2，1-2a)时，g(x)最小值为 g(2)=4a+5；当 x1-2a，4时，g(x)最小值为 g(1-2a)=2-2a.因为- a- ，(4a+5)-(2-2a)=6a+30，3 21 2所以 g(x)最小值为 4a+5.综上所述，g(x)的最小值为138 + 17, 4, 1 2, 4 2,4 + 5, 2 1 2,2 + 4, 12.?